Solitary waves in the excitable Burridge-Knopoff model - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2016

Solitary waves in the excitable Burridge-Knopoff model

Abstract

The Burridge-Knopoff model is a lattice differential equation describing a chain of blocks connected by springs and pulled over a surface. This model was originally introduced to investigate nonlinear effects arising in the dynamics of earthquake faults. One of the main ingredients of the model is a nonlinear velocity-dependent friction force between the blocks and the fixed surface. For some classes of non-monotonic friction forces, the system displays a large response to perturbations above a threshold, which is characteristic of excitable dynamics. Using extensive numerical simulations, we show that this response corresponds to the propagation of a solitary wave for a broad range of friction laws (smooth or nonsmooth) and parameter values. These solitary waves develop shock-like profiles at large coupling (a phenomenon connected with the existence of weak solutions in a formal continuum limit) and propagation failure occurs at low coupling. We introduce a simplified piecewise linear friction law (reminiscent of the McKean nonlinearity for excitable cells) which allows us to obtain analytical expression of solitary waves and study some of their qualitative properties, such as wavespeed and propagation failure. We propose a possible physical realization of this system as a chain of impulsively forced mechanical oscillators. In certain parameter regimes, non-monotonic friction forces can also give rise to bistability between the ground state and limit-cycle oscillations and allow for the propagation of fronts connecting these two stable states.
Le modèle de Burridge-Knopoff est un système d’équations différentielles décrivant une chaîne de blocs reliés par des ressorts et tirés sur une surface. Ce modèle a été introduit à l’origine pour étudier les effets non linéaires intervenant dans la dynamique de failles sismiques. L’un des principaux ingrédients du modéle est l’existence d’une force de frottement non linéaire qui dépend de la vitesse entre les blocs et la surface fixe. Pour certaines classes de forces de frottement non monotones, le système présente une réponse importante aux perturbations au- dessus d’un certain seuil; une des caractéristiques des systèmes excitables. A l’aide de simulations numériques, nous montrons que cette réponse est associée à la propagation d’une onde solitaire pour une large gamme de lois de frottement (régulières ou non régulières) et de valeurs de paramètres. Ces ondes solitaires développent des profils de type choc à grand couplage (un phénomène lié à l’existence de solutions faibles dans une limite formelle continue) et un échec de propagation se produit à faible couplage. Nous introduisons une loi de friction simplifiée, linéaire par morceaux (rappelant la non linéarité de McKean pour les cellules excitables), qui nous permet d’obtenir l’expression analytique des ondes solitaires et d’étudier certaines de leurs propriétés qualitatives, telles que la vitesse de l’onde et l’échec de propagation. Nous proposons une réalisation physique possible de ce système comme une chaîne d’oscillateurs mécaniques forcés par impulsion. Dans certains régimes de paramètres, des forces de frottement non monotones peuvent également donner lieu à une bistabilité entre un état stationnaire et un cycle limite et permettre la propagation de fronts reliant ces deux états stables.
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Dates and versions

hal-01411897 , version 1 (07-12-2016)

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  • HAL Id : hal-01411897 , version 1

Cite

José Eduardo Morales Morales, Guillaume James, Arnaud Tonnelier. Solitary waves in the excitable Burridge-Knopoff model. [Research Report] RR-8996, INRIA Grenoble - Rhône-Alpes. 2016. ⟨hal-01411897⟩
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