Identifying codes for infinite triangular grids with a finite number of rows - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2016

## Identifying codes for infinite triangular grids with a finite number of rows

Rennan Dantas
• Function : Author
Frédéric Havet
Rudini Sampaio
• Function : Author
• PersonId : 914295

#### Abstract

Let $\mathcal{G}_T$ be the infinite triangular grid. For any positive integer $k$, we denote by $T_k$ the subgraph of $\mathcal{G}_T$ induced by the vertex set $\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times[k]\}$. A set $C\subset V(G)$ is an {\it identifying code} in a graph $G$ if for all $v\in V(G)$, $N[v]\cap C\neq \emptyset$, and for all $u,v\in V(G)$, $N[u]\cap C\neq N[v]\cap C$, where $N[x]$ denotes the closed neighborhood of $x$ in $G$. The minimum density of an identifying code in $G$ is denoted by $d^*(G)$. In this paper, we prove that $d^*(T_1)=d^*(T_2)=1/2$, $d^*(T_3)=d^*(T_4)=1/3$, $d^*(T_5)=3/10$, $d^*(T_6)=1/3$ and $d^*(T_k)=1/4+1/(4k)$ for every $k\geq 7$ odd. Moreover, we prove that $1/4+1/(4k)\leq d^*(T_k)\leq 1/4+1/(2k)$ for every $k\geq 8$ even.
Soit $\mathcal{G}_T$ la grille triangulaire infinie. Pour pout entier strictement positif $k$, nous notons $T_k$ le sous-graphe de $\mathcal{G}_T$ induit par l'ensemble des sommets $\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times[k]\}$. Un ensemble $C\subset V(G)$ est un {\it code identifiant} d'un graphe $G$ si pour tout $v\in V(G)$, $N[v]\cap C\neq \emptyset$, et pour tout $u,v\in V(G)$, $N[u]\cap C\neq N[v]\cap C$, o\`u $N[x]$ est le voisinage ferm\'e de $x$ dans $G$. La densit\'e minimum d'un code identifiant de $G$ est not\'ee $d^*(G)$. Dans ce rapport, nous montrons que $d^*(T_1)=d^*(T_2)=1/2$, $d^*(T_3)=d^*(T_4)=1/3$, $d^*(T_5)=3/10$, $d^*(T_6)=1/3$ et $d^*(T_k)=1/4+1/(4k)$ pour tout $k\geq 7$ impair. De plus, nous montrons que $1/4+1/(4k)\leq d^*(T_k)\leq 1/4+1/(2k)$ pour tout $k\geq 8$ pair.

#### Domains

Discrete Mathematics [cs.DM]

### Dates and versions

hal-01358064 , version 1 (30-08-2016)

### Identifiers

• HAL Id : hal-01358064 , version 1

### Cite

Rennan Dantas, Frédéric Havet, Rudini Sampaio. Identifying codes for infinite triangular grids with a finite number of rows. [Research Report] RR-8951, INRIA Sophia Antipolis - I3S. 2016. ⟨hal-01358064⟩

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