Structural Analysis of Multi-Mode DAE Systems
Analyses structurelle des systèmes de DAE multi-modes
Résumé
Multi-mode DAE systems constitute the mathematical model supporting physical modeling languages such as Modelica. Multi-mode DAE systems are systems of equations of the form "if guard_i do fi(the xj and derivatives of them) = 0" where
guard_i is a predicate involving system variables and guarding the DAE fi(...) = 0. Single-mode (i.,e., usual) DAE systems face the issue of differentiation index, originating from the possible existence of so-called “latent constraints”. DAE systems having index 2 are not comfortable to solvers and those having index larger than 3 are problematic or even out of reach. Unfortunately, complex Modelica models may lead to such cases, even more so when composed with the control software. The Structural Analysis of DAE systems, of which the popular Pantelides algorithm is representative, is a symbolic pre-processing preparing the simulation for DAE systems of large index. Unlike for single-mode DAE systems, however, no theory exists that can support the structural analysis of multi-mode DAE systems. As a practical consequence, Modelica compilers handle some models and refuse other ones, including some models that are sound and useful to consider, from physical and practical points of view. Worse, there is no clear definition of the class of Modelica models that can/cannot be handled. As we said, the reason for this is the lack of rigourous mathematical support for the structural analysis of multi-mode DAE systems. It is generally considered that the structural analysis is mode-dependent. This, however, tells nothing about how mode changes must be handled. Even more so when
mode changes occur in cascades. In this paper we develop a comprehensive mathematical approach to the structural analysis of multimode DAE systems. We first observe that a single-mode DAE system and its explicit first order Euler
approximation possess identical structural analyses, regardless of the step size. We thus propose to take a step size that is infinitesimal in the sense of non-standard analysis, so that the Euler scheme is no longer an approximation but rather a re-interpretation of the original system, in the non-standard domain. Building on top of this, we are able to propose a full mathematical study of the structural analysis of multi-mode DAE systems and we show how simulation code can be deduced from this analysis.
Les systèmes de DAE multi-modes constituent le modèle mathématique sous-jacent à la modélisation de systèmes
physiques par des langages tels que Modelica. Ils sont de la forme "if guard_i do fi(the xj and derivatives of them) = 0"
où guard_i est un prédicat en les variables du système, servant de garde à l’équation fi(...) = 0. On associe aux systèmes de DAE mono-modes (c’est-à-dire les systèmes de DAE usuels) une notion d’index de différentiation, relié à l’existence de contraintes dites “cachées”, que l’on révèle par différentiation d’un ensemble bien choisi d’équations du système. L’index de différentation est alors le plus grand parmi les nombres minimaux de fois qu’il faut différentier chaque équation pour faire apparaitre toutes les contraintes cachées. Les systèmes de DAE d’index 2 sont délicats à simuler par les solveurs tandis que ceux d’index supérieur ou égal à 3 sont problématiques, voire impossibles à simuler. Malheureusement, les systèmes de DAE obtenus à partir de modèles Modelica peuvent être d’ordre élevé, d’autant plus lorsqu’ils sont en interaction avec un modèle représentant le logiciel qui les contrôle. L’analyse structurelle des systèmes de DAE est un prétraitement symbolique effectuant, entre autres, la réduction d’index, permettant ainsi le travail des solveurs dans des conditions satisfaisantes. Malheureusement, il n’existe pas de définition mathématique claire de ce qu’est l’analyse structurelle pour les systèmes multi-modes. En conséquence de quoi les compilateurs existants pour Modelica (et les langages de la même classe) traitent convenablement certains modèles mais en refusent d’autres, qui sont pourtant dotés de sens physique. De plus, il n’existe pas de caractérisation claire de la classe des modèles qui sont bien traités. Habituellement, on se contente de parler de l’index du système dans un mode particulier. Mais le problème est que ceci n’aide en rien à comprendre comment doivent les transitons entre modes être négociées, avec leurs actions de réinitialisation. Dans cet article nous développons une approche mathématique claire pour l’analyse structurelle des systèmes de DAE multi-modes. Notre approche repose sur l’utilisation de l’analyse non-standard, qui nous permet de regarder, pour l’analyse symbolique qu’est l’analyse structurelle, le système dynamique considéré comme étant à temps discret, avec un pas de temps infinitésimal.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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