Matroids over a ring
Résumé
We introduce the notion of a matroid $M$ over a commutative ring $R$, assigning to every subset of the ground set an $R$-module according to some axioms. When $R$ is a field, we recover matroids. When $R=\mathbb{Z}$, and when $R$ is a DVR, we get (structures which contain all the data of) quasi-arithmetic matroids, and valuated matroids, respectively. More generally, whenever $R$ is a Dedekind domain, we extend the usual properties and operations holding for matroids (e.g., duality), and we compute the Tutte-Grothendieck group of matroids over $R$.
Nous introduisons la notion de matroïde $M$ sur un anneau commutatif $R$, qui assigne à chaque partie d’un ensemble $E$ un $R$-module selon certains axiomes. Quand $R$ est un corps, on retrouve les matroïdes. Lorsque $R=\mathbb{Z}$, et lorsque $R$ est un anneau de valuation discrète, nous obtenons (structures qui contiennent toutes les données) respectivement des matroïdes quasi-arithmétiques et des matroïdes valués. En plus de généralité, quand $R$ est un anneau de Dedekind, nous étendons les propriétés et opérations habituelles pour les matroïdes (par exemple, la dualité), et nous calculons le groupe de Tutte-Grothendieck des matroïdes sur $R$.
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