Lorsque $W$ est un groupe de réflexion fini, le treillis $NC(W)$ des partitions non-croisées de type $W$ est un objet combinatoire très riche, qui généralise la notion de partitions non-croisées d'un $n$-gone. Une formule (seulement prouvée au cas par cas à l'heure actuelle) exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans $NC(W)$ sous la forme d'un nombre de Fuß-Catalan généralisé, qui dépend des degrés invariants de $W$. Nous décrivons une stratégie visant à comprendre certaines spécifications de cette formule de manière uniforme, en utilisant une interprétation des chaînes de $NC(W)$ comme fibres d'un "revêtement de Lyashko-Looijenga''. Ce revêtement est construit à partir de la géométrie de l'hypersurface du discriminant de $W$. Nous en déduisons de nouvelles formules de comptage pour certaines factorisations d'un élément de Coxeter de $W$.