Genus one partitions
Résumé
We prove the conjecture by M. Yip stating that counting genus one partitions by the number of their elements and parts yields, up to a shift of indices, the same array of numbers as counting genus one rooted hypermonopoles. Our proof involves representing each genus one permutation by a four-colored noncrossing partition. This representation may be selected in a unique way for permutations containing no trivial cycles. The conclusion follows from a general generating function formula that holds for any class of permutations that is closed under the removal and reinsertion of trivial cycles. Our method also provides another way to count rooted hypermonopoles of genus one, and puts the spotlight on a class of genus one permutations that is invariant under an obvious extension of the Kreweras duality map to genus one permutations.
Nous démontrons la conjecture de M. Yip affirmant que compter les partitions de genre un par le nombre de leurs éléments et leurs parties donne, à un décalage d’indices près, la même gamme de nombres que celle qui résulte en comptant les hypermonopoles de genre un. Notre preuve utilise une représentation de chaque permutation de genre un par une partition non-croisée quatricolorée. Cette représentation peut être choisi d’une manière unique pour les permutations qui ne contiennent pas des cycles triviaux. La conclusion suit d’une formule des fonctions génératrices générale qui vaut pour toute classe de permutations qui est fermé sous l’enlèvement et la réinsertion des cycles triviaux. Notre méthode offre une autre manière de compter les hypermonopoles enracinés de genre un, et dirige l’attention sur une extension évidente de la dualité de Kreweras sur les permutations de genre un.
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