Newton Polytopes of Cluster Variables of Type $A_n$
Résumé
We study Newton polytopes of cluster variables in type $A_n$ cluster algebras, whose cluster and coefficient variables are indexed by the diagonals and boundary segments of a polygon. Our main results include an explicit description of the affine hull and facets of the Newton polytope of the Laurent expansion of any cluster variable, with respect to any cluster. In particular, we show that every Laurent monomial in a Laurent expansion of a type $A$ cluster variable corresponds to a vertex of the Newton polytope. We also describe the face lattice of each Newton polytope via an isomorphism with the lattice of elementary subgraphs of the associated snake graph.
Nous étudions polytopes de Newton des variables amassées dans les algèbres amassées de type A, dont les variables sont indexés par les diagonales et les côtés d’un polygone. Nos principaux résultats comprennent une description explicite de l’enveloppe affine et facettes du polytope de Newton du développement de Laurent de toutes variables amassées. En particulier, nous montrons que tout monôme Laurent dans un développement de Laurent de variable amassée de type A correspond à un sommet du polytope de Newton. Nous décrivons aussi le treillis des faces
de chaque polytope de Newton via un isomorphisme avec le treillis des sous-graphes élémentaires du “snake graph” qui est associé.
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