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Communication Dans Un Congrès Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Année : 2010

The Hodge Structure of the Coloring Complex of a Hypergraph (Extended Abstract)

Résumé

Let G be a simple graph with n vertices. The coloring complexΔ(G) was defined by Steingrímsson, and the homology of Δ(G) was shown to be nonzero only in dimension n3 by Jonsson. Hanlon recently showed that the Eulerian idempotents provide a decomposition of the homology group Hn3(Δ(G)) where the dimension of the jth component in the decomposition, H(j)n3(Δ(G)), equals the absolute value of the coefficient of λj in the chromatic polynomial of G,χg(λ). Let H be a hypergraph with n vertices. In this paper, we define the coloring complex of a hypergraph, Δ(H), and show that the coefficient of λj in χH(λ) gives the Euler Characteristic of the jth Hodge subcomplex of the Hodge decomposition of Δ(H). We also examine conditions on a hypergraph, H, for which its Hodge subcomplexes are Cohen-Macaulay, and thus where the absolute value of the coefficient of λj in χH(λ) equals the dimension of the jth Hodge piece of the Hodge decomposition of Δ(H).
Soit G un graphe simple à n sommets. Le complexe de coloriage Δ(G) a été défini par Steingrímsson et Jonsson a prouvé que l'homologie de Δ(G) est non nulle seulement en dimension n3. Hanlon a récemment prouvé que les idempotents eulériens fournissent une décomposition du groupe d'homologie Hn3(Δ(G)) où la dimension de la je composante dans la décomposition de H(j)n3(Δ(G)) est égale à la valeur absolue du coefficient de λj dans le polynôme chromatique de G,χg(λ) . Soit H un hypergraphe à n sommets. Dans ce texte, nous définissons le complexe de coloration d'un hypergraphe Δ(H) et nous prouvons que le coefficient de λj dans χH(λ) donne la caractéristique d'Euler du je sous-complexe de Hodge dans la décomposition de Hodge de Δ (H). Nous examinons également des conditions sur un hypergraphe H pour lesquelles les sous-complexes de Hodge sont Cohen-Macaulay. Ainsi la valeur absolue du coefficient de λj in χH(λ) est égale à la dimension du jesous-complexe de Hodge dans la décomposition de Hodge de Δ(H).
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hal-01186258 , version 1 (24-08-2015)

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Citer

Sarah C Rundell, Jane H Long. The Hodge Structure of the Coloring Complex of a Hypergraph (Extended Abstract). 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010), 2010, San Francisco, United States. pp.1017-1024, ⟨10.46298/dmtcs.2830⟩. ⟨hal-01186258⟩

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