Affine structures and a tableau model for $E_6$ crystals
Résumé
We provide the unique affine crystal structure for type $E_6^{(1)}$ Kirillov―Reshetikhin crystals corresponding to the multiples of fundamental weights $s\Lambda _1, s\Lambda _2$, and $s\Lambda _6$ for all $s≥ 1$ (in Bourbaki's labeling of the Dynkin nodes, where 2 is the adjoint node). Our methods introduce a generalized tableaux model for classical highest weight crystals of type $E$ and use the order three automorphism of the affine $E_6^{(1)}$ Dynkin diagram. In addition, we provide a conjecture for the affine crystal structure of type $E_7^{(1)}$ Kirillov―Reshetikhin crystals corresponding to the adjoint node.
Nous donnons l'unique structure cristalline affine pour les cristaux de Kirillov―Reshetikhin de type $E_6^{(1)}$ correspondant aux multiples des poids fondamentaux $s\Lambda _1, s\Lambda _2$ et $s\Lambda _6 $pour tout $s≥ 1$ (dans l'étiquetage de Bourbaki des noeuds de Dynkin, où 2 est le noeud adjoint). Pour ceci, nous introduisons un modèle de tableaux généralisés pour les cristaux classiques du plus haut poids de type $E$ et nous employons l'automorphisme d'ordre trois du diagramme de Dynkin du type $E_6^{(1)}$. En outre, nous fournissons une conjecture pour la structure affine pour les cristaux de Kirillov―Reshetikhin de type $E_7^{(1)}$ correspondant au noeud adjoint.
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