A new combinatorial identity for unicellular maps, via a direct bijective approach. - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Conference Papers Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Year : 2009

A new combinatorial identity for unicellular maps, via a direct bijective approach.

Abstract

We give a bijective operation that relates unicellular maps of given genus to unicellular maps of lower genus, with distinguished vertices. This gives a new combinatorial identity relating the number $\epsilon_g(n)$ of unicellular maps of size $n$ and genus $g$ to the numbers $\epsilon _j(n)$'s, for $j \lt g$. In particular for each $g$ this enables to compute the closed-form formula for $\epsilon_g(n)$ much more easily than with other known identities, like the Harer-Zagier formula. From the combinatorial point of view, we give an explanation to the fact that $\epsilon_g(n)=R_g(n) \mathrm{Cat}(n)$, where $\mathrm{Cat}(n$) is the $n$-th Catalan number and $R_g$ is a polynomial of degree $3g$, with explicit interpretation.
On décrit une opération bijective qui relie les cartes à une face de genre donné à des cartes à une face de genre inférieur, portant des sommets marqués. Cela conduit à une nouvelle identité combinatoire reliant le nombre $\epsilon_g(n)$ de cartes à une face de taille $n$ et genre $g$ aux nombres $\epsilon _j(n)$, pour $j \lt g$. En particulier, pour tout $g$, cela permet de calculer la formule close donnant $\epsilon_g(n)$ bien plus facilement qu'à l'aide des autres identités connues, comme la formule d'Harer-Zagier. Du point de vue combinatoire, nous donnons une explication au fait que $\epsilon _g(n)=R_g(n) \mathrm{Cat}(n)$, où $\mathrm{Cat}(n)$ est le $n$ième nombre de Catalan et $R_g$ est un polynôme de degré $3g$, à l'interprétation explicite.
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Dates and versions

hal-01185440 , version 1 (20-08-2015)

Identifiers

Cite

Guillaume Chapuy. A new combinatorial identity for unicellular maps, via a direct bijective approach.. 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), 2009, Hagenberg, Austria. pp.289-300, ⟨10.46298/dmtcs.2747⟩. ⟨hal-01185440⟩
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