Bijective Enumeration of Bicolored Maps of Given Vertex Degree Distribution
Résumé
We derive a new formula for the number of factorizations of a full cycle into an ordered product of two permutations of given cycle types. For the first time, a purely combinatorial argument involving a bijective description of bicolored maps of specified vertex degree distribution is used. All the previous results in the field rely either partially or totally on a character theoretic approach. The combinatorial proof relies on a new bijection extending the one in [G. Schaeffer and E. Vassilieva. $\textit{J. Comb. Theory Ser. A}$, 115(6):903―924, 2008] that focused only on the number of cycles. As a salient ingredient, we introduce the notion of thorn trees of given vertex degree distribution which are recursive planar objects allowing simple description of maps of arbitrary genus. \par
Nous démontrons une nouvelle formule exprimant le nombre de factorisations d'un long cycle en produit de deux permutations ayant un type cyclique donné. Pour la première fois, nous utilisons un argument purement combinatoire basé sur une description bijective des cartes bicolores dont la distribution des degrés des sommets est donnée. Tous les résultats précédents dans le domaine se basent soit partiellement soit totalement sur la théorie des caractères de groupe. La preuve combinatoire se fonde sur une nouvelle bijection généralisant celle introduite dans [G. Schaeffer and E. Vassilieva. $\textit{J. Comb. Theory Ser. A}$, 115(6):903―924, 2008] ne s'intéressant qu'au nombre de cycles. L'ingrédient le plus saillant est l'introduction de la notion d'arbre épineux de structure cyclique donnée, des objets récursifs et planaires permettant une description simple des cartes de genus arbitraire.
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