Numeric certified algorithm for the topology of resultant and discriminant curves
Algorithmes numériques certifiés pour la topologie d'une courbe résultante ou discriminante
Résumé
Let $\mathcal C$ be a real plane algebraic curve defined by the resultant of
two polynomials (resp. by the discriminant of a polynomial). Geometrically
such a curve is the projection of the intersection of the surfaces
$P(x,y,z)=Q(x,y,z)=0$ (resp.
$P(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial z}(x,y,z)=0$), and generically its
singularities are nodes (resp. nodes and ordinary cusps). State-of-the-art
numerical algorithms compute the topology of smooth curves but usually fail to
certify the topology of singular ones. The main challenge is to find practical
numerical criteria that guarantee the existence and the uniqueness of a
singularity inside a given box $B$, while ensuring that $B$ does not contain
any closed loop of $\mathcal{C}$. We solve this problem by first providing a
square deflation system, based on subresultants, that can be used to certify
numerically whether $B$ contains a unique singularity $p$ or not. Then we
introduce a numeric adaptive separation criterion based on interval arithmetic
to ensure that the topology of $\mathcal C$ in $B$ is homeomorphic to the
local topology at $p$. Our algorithms are implemented and experiments show
their efficiency compared to state-of-the-art symbolic or homotopic methods.
Bien que francophones et très attachés à notre langue maternelle,
nous avons pensé et rédigé ce travail en anglais comme la grande majorité de la
production scientifique mondiale. Dans ce contexte, il est clair que cette
version française de l' ''abstract'' n'a aucun interêt pour notre communauté,
et nous avons peu d'espoir qu'il puisse en être autrement même en dehors de
notre communauté. Nous proposons néanmoins quelques pistes en français pour
cet improbable lecteur et serions comblés si celui-ci en venait à apprendre
l'anglais pour pouvoir lire notre prose.
Nous \'etudions la topologie d'une courbe plane issue de la projection d'une
courbe lisse dans l'espace. Génériquement, la projection présente des
singularités de type noeud et cusp (dans le cas d'un discriminant
seulement). Les algorithmes numériques de l'état de l'art ne calculent la
topologie que dans le cas de courbes lisses. L'enjeu est donc de concevoir des
critères numériques garantissant l'existence et l'unicité d'une singularité
dans une boite donnée, tout en assurant que cette boite ne contienne pas
d'autre partie de la courbe non connectée à ce point dans la boite. Nous
proposons une déflation basée sur les sous-résultants pour le premier problème
ainsi qu'un critère de séparation basée sur de l'arithmétique d'intervalles
pour le second problème.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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