Constrained optimization in classes of analytic functions with prescribed pointwise values
Résumé
We consider an overdetermined problem for Laplace equation on a disk with partial boundary data where additional pointwise data inside the disk have to be taken into account. After reformulation, this ill-posed problem reduces to a bounded extremal problem of best norm-constrained approximation of partial L2 boundary data by traces of holomorphic functions which satisfy given pointwise interpolation conditions. The problem of best norm-constrained approximation of a given L2 function on a subset of the circle by the trace of a H2 function has been considered in [Baratchart & Leblond, 1998]. In the present work, we extend such a formulation to the case where the additional interpolation conditions are imposed. We also obtain some new results that can be applied to the original problem: we carry out stability analysis and propose a novel method of evaluation of the approximation and blow-up rates of the solution in terms of a Lagrange parameter leading to a highly-efficient computational algorithm for solving the problem.
Nous considérons un problème inverse surdéterminé pour l'équation de Laplace dans un disque, avec des conditions de type Dirichlet-Neumann sur une partie de la frontière et des contraintes supplémentaires d'interpolation dans le disque. Après reformulation, ce problème est réduit à un problème de meilleure approximation quadratique sous contraintes, par les traces de fonctions holomorphes appartenant à l'espace de Hardy H2, comme dans [Baratchart & Leblond, 1998], et vérifiant des conditions d'interpolation dans le domaine. De plus, nous effectuons une analyse de la stabilité du problème face à des perturbations sur les données, et proposons une nouvelle méthode pour calculer certaines caractéristiques de la solution (erreur d'approximation, estimation de sa norme), en termes du paramètre de Lagrange intervenant dans l'algorithme.
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