On the asymptotics of a Robin eigenvalue problem
Résumé
The considered Robin problem can formally be seen as a small perturbation of a Dirichlet problem. However, due to the sign of the impedance value, its associated eigenvalues converge point-wise to −∞ as the perturbation goes to zero. We prove in this case that Dirichlet eigenpairs are the only accumulation points of the Robin eigenpairs with normalized eigenvectors. We then provide a criterion to select accumulating sequences of eigenvalues and eigenvectors and exhibit their full asymptotic with respect to the small parameter.
Le problème de Robin que l'on considère peut formellement être vu comme une petite perturbation d'un problème de Dirichlet. Néanmoins, à cause du signe de l'impédance, ses valeurs propres vont ponctuellement vers −∞ lorsque le petit paramètre tend vers 0. Nous montrons néanmoins que les couples valeurs-vecteurs propres du problème de Dirichlet sont les seuls points d'accumulation des couples valeurs-vecteurs propres de Robin associés à des suites de vecteurs propres normalisés. Nous proposons un critère qui permet de sélectionner les suites de valeurs propres et de vecteurs propres qui s'accumulent sur les valeurs propres et les vecteurs propres de Dirichlet, et nous donnons et justifions leur développement asymptotique complet par rapport au petit paramètre.