Fractional Combinatorial Two-Player Games - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2013

## Fractional Combinatorial Two-Player Games

Frédéric Giroire
Nicolas Nisse
Stéphane Pérennes
• Function : Author
• PersonId : 942945
Ronan Pardo Soares
• Function : Author
• PersonId : 912738

#### Abstract

During the last decades, many combinatorial games involving two persons playing on a (directed) graph have received a lot of attention. Some examples of such games are the Angel problem, the Cops and Robbers, the Surveillance game, the Eternal Dominating Set and Eternal Set Cover. One of the main questions in these games is to decide if a given player has a winning strategy. That is, if it can always win regardless of behaviour of the other player. This question is often NP-hard. In the Cops and Robbers game and for the Surveillance game this question is PSPACE-complete [Mamino 2012, Fomin et al. 2012]. In this paper, we propose a fractional relaxation of these games. That is, we present a framework, based on linear programming techniques, that can be used to model any of the aforementioned games and some of its variants. As far as we know, it is the first time that such combinatorial games have been studied in this way and perspectives are promising. We also propose an algorithm that decides whether the first player can win the game in at most t turns. Moreover, under a weak assumption which is valid for all the aforementioned games, the fractional game gives us a lower bound for the integral game. For the Surveillance game and the Angel problem we show that there is, with high probability, a winning strategy which is in a O(log n) factor of the correspondent fractional parameter against a surfer or angel that follows a particular behavior. On the other hand, we prove that our framework cannot be used to approximate the classical Cops and Robber game.
Durant les dernières décennies, de nombreux jeux combinatoires impliquant deux personnes jouant sur un graphe ont reçu beaucoup d'attention. Quelques exemples de ces jeux sont le problème de l'ange et du démon, les Gendarmes et Voleurs, le jeu de surveillance, l'ensemble dominant éternel et la couverture éternele. L'une des principales questions dans ces jeux est de décider si un joueur a une stratégie gagnante. Il s'agit de savoir si un joueur peut toujours gagner quelle que soit la strategie de l'autre joueur. Cette question correspond généralement à un problème NP-dificile. Dans le jeux des Gendarmes et Voleurs et dans le jeu de surveillance, cette question est PSPACE-complet [Mamino 2012 Fomin et al. 2012]. Dans cet article, nous proposons une relaxation fractionnaire de ces jeux. Autrement dit, nous présentons un cadre, basé sur des techniques de programmation linéaire, qui peut être utilisé pour modéliser ces jeux et certaines de leurs variantes. Pour autant que nous sachions, c'est la premiere fois que ces jeux sont étudiés de cette façon et les perspectives sont prometteuses. Nous proposons également un algorithme qui décide si le premier joueur a une strategie gagnante en au plus t tours. De plus, nous montrons que le jeu fractionnaire donne une borne inférieure pour le jeu entier si le jeu satisfait une propriété simple qui est satisfaite par chacun des jeux mentionnés ci-dessus.

#### Domains

Computer Science and Game Theory [cs.GT]

### Dates and versions

hal-00865345 , version 1 (24-09-2013)
hal-00865345 , version 2 (30-09-2013)

### Identifiers

• HAL Id : hal-00865345 , version 2

### Cite

Frédéric Giroire, Nicolas Nisse, Stéphane Pérennes, Ronan Pardo Soares. Fractional Combinatorial Two-Player Games. [Research Report] RR-8371, INRIA. 2013. ⟨hal-00865345v2⟩

### Export

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