Optimization of running strategies based on anaerobic energy and variations of velocity - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles SIAM Journal on Applied Mathematics Year : 2014

## Optimization of running strategies based on anaerobic energy and variations of velocity

Amandine Aftalion

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J. Frederic Bonnans
• Function : Author
• PersonId : 833418
• IdHAL : bonnans

#### Abstract

We present new models, numerical simulations and rigorous analysis for the optimization of the velocity in a race. In a seminal paper, Keller (1973,1974) explained how a runner should determine his speed in order to run a given distance in the shortest time. We extend this analysis, based on the equation of motion and aerobic energy, to include a balance of anaerobic energy (or accumulated oxygen deficit) and an energy recreation term when the speed decreases. We also take into account that when the anaerobic energy gets too low, the oxygen uptake cannot be maintained to its maximal value. Using optimal control theory, we obtain a proof of Keller's optimal race, and relate the problem to a relaxed formulation, where the propulsive force represents a probability distribution rather than a value function of time. Our analysis leads us to introduce a bound on the variations of the propulsive force to obtain a more realistic model which displays oscillations of the velocity. Our numerical simulations qualitatively reproduce quite well physiological measurements on real runners. We show how, by optimizing over a period, we recover these oscillations of speed. We point out that our numerical simulations provide in particular the exact instantaneous anaerobic energy used in the exercise.
Nous présentons de nouveaux modèles, des simulations numériques et une ana\-lyse rigoureuse de l'optimisation de la vitesse dans une course. Dans un article fondateur, Keller (1973,1974) a expliqué comment un coureur devrait déterminer sa vitesse pour atteindre une distance donnée en un temps minimal. Nous étendons son analyse qui repose sur l'équation du mouvement et l'énergie aérobie, pour inclure un bilan sur l'énergie anaérobie (ou le déficit accumulé d'oxygène) qui prend en compte un terme de recréation d'énergie quand la vitesse diminue. Nous incluons également dans le modèle une baisse de la consommation maximale d'oxygène quand l'énergie anaérobie est trop faible. Grâce à la théorie de la commande optimale, nous établissons rigoureusement la structure de la course optimale dans le modèle de Keller, et relions le modèle général à une formulation relaxée, dans laquelle la force de propulsion à un instant donné correspond à une probabilité de distribution. L'analyse conduit à l'introduction d'une borne sur les variations de la force de propulsion pour obtenir un modèle plus réaliste dans lequel apparaissent des oscillations de la vitesse. Nos expériences numériques reproduisent bien, d'une manière qualitative, les mesures physiologiques sur des coureurs. Nous montrons qu'en optimisant sur une période, on retrouve les oscillations de vitesse, et soulignons que les simulations numériques fournissent en particulier l'énergie anaérobie instantanée utilisée.

### Dates and versions

hal-00851182 , version 1 (12-08-2013)
hal-00851182 , version 2 (13-08-2013)
hal-00851182 , version 3 (13-08-2013)
hal-00851182 , version 4 (27-04-2014)
hal-00851182 , version 5 (15-05-2014)

### Identifiers

• HAL Id : hal-00851182 , version 5

### Cite

Amandine Aftalion, J. Frederic Bonnans. Optimization of running strategies based on anaerobic energy and variations of velocity. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2014, 74 (5), pp.1615-1636. ⟨hal-00851182v5⟩

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