On the minimum edge cover and vertex partition by quasi-cliques problems
Résumé
A $\gamma$-quasi-clique in a simple undirected graph is a set of vertices which induces a subgraph with the edge density of at least $\gamma$ for $0<\gamma< 1$. A cover of a graph by $\gamma$-quasi-cliques is a set of $\gamma$-quasi-cliques where each edge of the graph is contained in at least one quasi-clique. The minimum cover by $\gamma$-quasi-cliques problem asks for a $\gamma$-quasi-clique cover with the minimum number of quasi-cliques. A partition of a graph by $\gamma$-quasi-cliques is a set of $\gamma$-quasi-cliques where each vertex of the graph belongs to exactly one quasi-clique. The minimum partition by $\gamma$-quasi-cliques problem asks for a vertex partition by $\gamma$-quasi-cliques with the minimum number of quasi-cliques. We show that the decision versions of the minimum cover and partition by $\gamma$-quasi-cliques problems are NP-complete for any fixed $\gamma$ satisfying $0<\gamma< 1$.
Un $\gamma$-quasi-clique, pour $0<\gamma< 1$, dans un graphe simple non-orienté est un sous-ensemble de sommets dont le sous-graphe induit a une densité d'arêtes supérieure ou égale à $\gamma$. Un ensemble de $\gamma$-quasi-cliques couvrant toutes les arêtes d'un graphe est appelé une couverture par des $\gamma$-quasi-cliques. Le problème de couverture minimale par des $\gamma$-quasi-cliques consiste à trouver une couverture par des $\gamma$-quasi-cliques ayant le plus petit nombre de quasi-cliques. Une partition des sommets d'un graphe par des quasi-cliques est un ensemble de $\gamma$-quasi-cliques telle que chaque sommet du graphe appartient à un seul quasi-clique de l'ensemble. Le problème de partition minimale par des $\gamma$-quasi-cliques consiste à trouver une partition par des $\gamma$-quasi-cliques ayant le plus petit nombre de quasi-cliques. Nous démontrons que les problèmes de décision associés aux problèmes de couverture minimale et partition minimale par des $\gamma$-quasi-cliques sont NP-complets pour tout $\gamma$ satisfaisant $0<\gamma<1$ fixé.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|