A constructive study of the module structure of rings of partial differential operators
Résumé
The purpose of this paper is to develop constructive versions of Stafford's theorems on the module structure of Weyl algebras A_n(k) (i.e., the rings of partial differential operators with polynomial coefficients) over a base field k of characteristic zero. More generally, based on results of Stafford and Coutinho-Holland, we develop constructive versions of Stafford's theorems for very simple domains D. The algorithmization is based on the fact that certain inhomogeneous quadratic equations admit solutions in a very simple domain. We show how to explicitly compute a unimodular element of a finitely generated left D-module of rank at least two. This result is used to constructively decompose any finitely generated left D-module into a direct sum of a free left D-module and a left D-module of rank at most one. If the latter is torsion-free, then we explicitly show that it is isomorphic to a left ideal of D which can be generated by two elements. Then, we give an algorithm which reduces the number of generators of a finitely presented left D-module with module of relations of rank at least two to two. In particular, any finitely generated torsion left D-module can be generated by two elements and is the homomorphic image of a projective ideal whose construction is explicitly given. Moreover, a non-torsion but non-free left D-module of rank r can be generated by r+1 elements but no fewer. These results are implemented in the Stafford package for D=A_n(k) and their system-theoretical interpretations are given within a D-module approach. Finally, we prove that the above results also hold for the ring of ordinary differential operators with either formal power series or locally convergent power series coefficients and, using a result of Caro-Levcovitz, also for the ring of partial differential operators with coefficients in the field of fractions of the ring of formal power series or of the ring of locally convergent power series.
Ce papier a pour but de développer des versions constructives des théorèmes de Stafford qui étudient la structure des modules sur les algèbres de Weyl A_n(k) (c'est-à-dire, sur les anneaux d'opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux), où k est un corps de caractéristique zéro. Plus généralement, en utilisant des idées de Stafford et Coutinho-Holland, nous développons des versions constructives des théorèmes de Stafford pour des anneaux fortement simples D. Cette algorithmisation est basée sur le fait que certaines équations quadratiques inhomogènes admettent des solutions dans un anneau fortement simple. Nous montrons comment obtenir de manière explicite un élément unimodulaire d'un D-module à gauche de type fini de rang au moins 2. Ce résultat est utilisé pour décomposer tout D-module à gauche de type fini en une somme directe d'un D-module libre à gauche et d'un D-module à gauche de rang au plus 1. Si ce dernier est sans-torsion, nous montrons alors de manière explicite qu'il est isomorphe à un idéal à gauche pouvant être engendré par deux éléments. Nous donnons alors un algorithme qui réduit à deux le nombre de générateurs d'un D-module à gauche de présentation finie possédant un module de relations de rang au moins 2. En particulier, tout D-module à gauche de type fini peut être engendré par deux éléments et il est l'image d'un idéal projectif dont la construction est explicitement donnée. De plus, un D-module à gauche de rang r, qui n'est ni de torsion, ni libre, peut être engendré par r+1 éléments et pas moins. Ces résultats sont implantés dans le package Stafford pour D=A_n(k) et l'interprétation en terme de théorie mathématique des systèmes donnée est basée sur l'approche des D-modules. Finalement, nous montrons que ces résultats sont aussi valables pour les anneaux d'opérateurs différentiels ordinaires à coefficients dans l'anneau des séries formelles ou l'anneau des séries localement convergentes et, grâce à un résultat de Caro et Levcovitz, pour les anneaux d'opérateurs aux dérivées partielles à coefficients dans le corps de fractions de l'anneau des séries formelles ou celui des séries localement convergentes.
Domaines
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