Exact and approximate algorithms for computing the hyperbolicity of large-scale graphs
Résumé
Let $G$ be a connected graph, and let $\dd(a,b)$ denotes the shortest path distance between vertices $a$ and $b$ of $G$. The graph $G$ is $\delta$-hyperbolic if for any vertices $a, b, c, d$ of $G$, the two largest of the three sums $S_1=\dd(a,b)+\dd(c,d)$, $S_2 = \dd(a,c)+\dd(b,d)$, and $S_3 = \dd(a,d)+\dd(b,c)$ differ by at most $2\delta$. This can be determined in time $O\braces{\binom{n}{4}}$ which could be prohibitive for large graphs. In this document, we propose an exact algorithm for determining the hyperbolicity of a graph that is scalable for large graphs. The time complexity of this algorithm is a function of the size of the largest bi-connected component of the graph, of the shortest path distance distribution in this componenant and of the value of the hyperbolicity. In the worst case, the time complexity is in $O\braces{\binom{n}{2}\cdot\braces{\binom{n}{2}-1}/2}$, so higher than $O\braces{\binom{n}{4}}$, but it is much faster in practice. We also propose both a multiplicative factor and an additive constant approximation algorithms. We then analyze further the time complexity of our exact algorithm for several class of graphs, and present some computational results on large-scale graphs.
Soit $G$ un graph connexe et soit $\dd(a,b)$ la distance entre les sommets $a$ et $b$ dans le graphe. Le graphe $G$ est dit $\delta$-hyperbolic si pour tout quadruplet $a$, $b$, $c$, $d$ de sommets de $G$, les deux plus grandes des sommes $S_1=\dd(a,b)+\dd(c,d)$, $S_2 = \dd(a,c)+\dd(b,d)$, et $S_3 = \dd(a,d)+\dd(b,c)$ diffèrent d'au plus $2\delta$. Cette valeur peut-être déterminé en temps $O\braces{\binom{n}{4}}$, ce qui est souvent inaccessible pour les grands graphes. Nous proposons un nouvel algorithme exact pour calculer l'hyperbolicité d'un graphe, permettant de traiter des grands graphes. La complexité temporelle de cet algorithme est fonction de la taille de la plus grande composante bi-connexe du graphe, de la distribution des plus courts chemins dans cette composante, et de la valeur de l'hyperbolicité. Au pire, cet algorithme prendra un temps en $O\braces{\binom{n}{2}\cdot\braces{\binom{n}{2}-1}/2}$, soit plus que $O\braces{\binom{n}{4}}$. Cependant, l'algorithme est bien plus efficace en pratique. Nous proposons également un algorithme approché à un facteur multiplicatif ou à une constante additive donné en entrée. Nous analysons la complexité temporelle de notre algorithme pour des classes particulères de graphes et présentons des résultats expérimentaux sur des grands graphes.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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