Algebraic theories, monads, and arities
Résumé
Monads are of interest both in semantics and in higher dimensional algebra. It turns out that the idea behind usual notion finitary monads (whose values on all sets can be computed from their values on finite sets) extends to a more general class of monads called monads with arities, so that not only algebraic theories can be computed from a proper set of arities, but also more general structures like n-categories, the computing process being realized using Kan extensions. This Master thesis compiles the required material in order to understand this question of arities and reconstruction of monads, and tries to give some examples of relevant interest from both semantics and higher category theory. A discussion on the promising field of operads is then provided as appendix.
Les monades interviennent à la fois en sémantique et en algèbre de dimension supérieure. Il s'avère que la propriété fondamentale des monades finitaires (dont les valeurs sur tout ensemble peuvent être obtenues à partir de l'ensemble des valeurs de la monade sur les ensembles finis) s'étend à une classe de monades plus générales, dites à arité, de sorte que l'on peut dans ce cadre obtenir des théories algébriques mais également des structures telles que les n-catégories à partir d'un ensemble d'arités finies, en utilisant des extensions de Kan (des colimites à poids) pour réaliser la reconstruction de toutes les valeurs à partir de celles des arités, en suivant l'intuition de la réalisation topologique. Ce mémoire, réalisé pour un M2 de Mathématiques, réunit les notions nécessaires à la compréhension de la question de l'arité monadique, et donne des exemples d'intérêt issus à la fois de la sémantique et de la théorie des catégories de dimension supérieure. Quelques éléments de comparaison avec la théorie des opérades sont fournis en annexe.