On Generalized Reed-Solomon Codes Over Commutative and Noncommutative Rings
Résumé
In this paper we study generalized Reed-Solomon codes (GRS codes) over commutative, noncommutative rings, show that the classical Welch-Berlekamp and Guruswami-Sudan decoding algorithms still hold in this context and we investigate their complexities. Under some hypothesis, the study of noncommutative generalized Reed-Solomon codes over finite rings leads to the fact that GRS code over commutative rings have better parameters than their noncommutative counterparts. Also GRS codes over finite fields have better parameters than their commutative rings counterparts. But we also show that given a unique decoding algorithm for a GRS code over a finite field, there exists a unique decoding algorithm for a GRS code over a truncated power series ring with a better asymptotic complexity. Moreover we generalize a lifting decoding scheme to obtain new unique and list decoding algorithms designed to work when the base ring is for example a Galois ring or a truncated power series ring or the ring of square matrices over the latter ring.
Dans cet article on étudie les codes de Reed-Solomon généralisés (codes GRS) sur des anneaux commutatifs, non commutatifs, on montre que les algorithmes classiques de décodage Welch-Berlekamp et Guruswami-Sudan restent valides dans ce contexte et on donne leurs complexités. Sous certaines hypothèses, l'étude des codes de Reed-Solomon généralisés sur les anneaux finis montre que les codes GRS sur les anneaux commutatifs ont des meilleurs paramètres que leurs équivalents non commutatifs. De même, les codes GRS sur les corps finis ont de meilleurs paramètres que leurs équivalents sur les anneaux commutatifs. Mais on montre aussi qu'étant donné un algorithme de décodage unique pour un code GRS sur un corps fini, il existe un algorithme de décodage unique pour un code GRS sur l'anneaux des séries tronquées avec une meilleure complexité asymptotique. De plus on généralise un schéma de remontée pour obtenir de nouveau algorithmes de décodage unique et en liste pour les codes GRS sur certains anneaux tels que les anneaux de Galois ou les anneaux de séries tronquées ou les anneaux de matrices sur ces derniers.
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