Cet article présente une construction en Coq de l'ensemble des nombres algébriques réels, ainsi qu'une preuve formelle que cet ensemble est muni d'une structure de corps réel clos discret archimédien. Cette construction vient ainsi implémenter une interface de corps réel clos réalisée dans un travail antérieur et bénéficie alors de la propriété d'élimination des quantificateurs, formellement prouvée pour toute instance de l'interface. Ce travail est destiné à servir de fondement à une construction de l'ensemble des nombres algébriques complexes, ainsi que d'implémentation de référence pour la certification des nombreux algorithmes de calcul formel qui utilisent des nombres algébriques.