Analysis and numerical approximation of some mathematical models of free-surface flows - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2023

Analysis and numerical approximation of some mathematical models of free-surface flows

Analyse et approximation numérique de quelques modèles mathématiques d'écoulements à surface libre

Abstract

This thesis is dedicated to the study of some partial differential equations describing free-surface flows in fluid mechanics and it consists of three interrelated projects. The first project investigates the implementation of numerical schemes for the Saint-Venant system using a kinetic approach, with a primary focus on the one-dimensional case. By adopting an implicit-in-time kinetic approach, this work offers a computational advantage over traditional implicit schemes, since it presents an explicit expression for the inverse of the matrix. The implicit kinetic scheme preserves the positivity of the water height and satisfies an entropy inequality. The second contribution delves into the stability analysis of the hydrostatic Euler equations. A transformation is introduced to rewrite these equations as a generalized quasi-linear system with an integral operator, establishing equivalence under specific conditions. This transformation allows for deeper insights into the spectrum of the matrix operator. Furthermore, we propose an exact multi-layer P0-discretization, which could be used to solve numerically the transformed system and we analyse its spectrum. The third and final contribution is a work in progress aiming to provide a mathematical justification for the mechanical balance laws of the two-dimensional Boussinesq system. This system is widely used in nearshore zone applications and it is useful to assess its accuracy in terms of fundamental principles such as mass, momentum, and energy conservation. We give estimates to quantify the errors introduced by these approximations, offering valuable insights into the accuracy of the Boussinesq system.
Cette thèse est dédiée à l'étude de certaines équations aux dérivées partielles décrivant les écoulements à surface libre en mécanique des fluides et se compose de trois projets interconnectés. Le premier projet étudie l'implémentation de schémas numériques pour le système de Saint-Venant en utilisant une approche cinétique, en se concentrant principalement sur le cas unidimensionnel. En adoptant une approche cinétique implicite en temps, ce travail offre un avantage de calcul par rapport aux schémas implicites traditionnels, puisqu'il présente une expression explicite pour l'inverse de la matrice. Le schéma cinétique implicite préserve la positivité de la hauteur d'eau et satisfait une inégalité d'entropie. La deuxième contribution traite de l'analyse de la stabilité des équations d'Euler hydrostatiques. Une transformation est introduite pour réécrire ces équations comme un système quasi-linéaire généralisé avec un opérateur intégral, établissant l'équivalence dans des conditions spécifiques. Cette transformation permet de mieux comprendre le spectre de l'opérateur matriciel. En outre, nous proposons une discrétisation exacte multicouche de P0, qui pourrait être utilisée pour résoudre numériquement le système transformé et nous analysons son spectre. La troisième et dernière contribution est un travail en cours visant à fournir une justification mathématique des lois d'équilibre mécanique du système bidimensionnel de Boussinesq. Ce système est largement utilisé dans les applications des zones littorales et il est utile d'évaluer sa précision en termes de principes fondamentaux tels que la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Nous donnons des estimations pour quantifier les erreurs introduites par ces approximations, offrant ainsi des indications précieuses sur la précision du système de Boussinesq.
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Dates and versions

tel-04356497 , version 1 (20-12-2023)

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  • HAL Id : tel-04356497 , version 1

Cite

Chourouk El Hassanieh. Analysis and numerical approximation of some mathematical models of free-surface flows. Analysis of PDEs [math.AP]. Sorbonne Université; Université Libanaise; Inria Paris, Équipe ANGE, 2023. English. ⟨NNT : 2023SORUS369⟩. ⟨tel-04356497⟩
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