Higher Structures in Homotopy Type Theory - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2023

Higher Structures in Homotopy Type Theory

Structures supérieures en théorie des types homotopiques

Abstract

The definition of algebraic structures on arbitrary types in homotopy type theory (HoTT) has proven elusive so far. This is due to equalities between elements of a type behaving like homotopies. Equational laws of algebraic structures must therefore be stated coherently. However, in set-based mathematics, the presentation of this coherence data relies on set-level algebraic structures such as operads or presheaves which are thus not subject to additional coherence conditions. Replicating this approach in HoTT leads to a situation of circular dependency as these structures must be defined coherently from the beginning. We break this circularity by extending type theory with a universe of cartesian polynomial monads which, crucially, satisfy their laws definitionally. This extension permits the presentation of higher structures on types as opetopic types which are infinite collections of cells whose geometry is described by opetopes. Opetopes are geometric shapes originally introduced by Baez and Dolan in order to give a definition of n-categories. The constructors under which our universe of cartesian polynomial monads is closed allow us to define, in particular, the Baez-Dolan slice construction on which is based our definition of opetopic type. Opetopic types then enable us to define coherent higher algebraic structures, among which infinity-groupoids and (infinity, 1)-categories. Crucially, their higher structure coincides with the one induced by their identity types. We then establish some expected results in order to motivate our definitions.
La définition de structures algébriques sur des types arbitraires en théorie des types homotopiques (HoTT) s'est révélée hors de portée jusqu'à présent. Cela est dû au fait que les égalités entre éléments d'un type se comportent comme des homotopies. Les lois équationnelles des structures algébriques doivent donc être énoncées de manière cohérente. Cependant, en mathématiques ensemblistes, la présentation de ces données de cohérence se fait à l'aide de structures algébriques sur des ensembles, telles que les opérades ou les préfaisceaux, qui ne sont donc pas soumises à des conditions de cohérence supplémentaires. Reproduire cette approche en HoTT conduit à une situation de dépendance circulaire puisque ces structures doivent être définies de manière cohérente dès le départ. Dans cette thèse, nous brisons cette circularité en étendant la théorie des types d'un univers de monades polynomiales cartésiennes qui, de manière cruciale, satisfont leurs lois définitionnellement. Cette extension permet de présenter les structures supérieures sur des types sous forme de types opétopiques qui sont des collections infinies de cellules dont la géométrie est décrite par les opétopes. Les opétopes sont des formes géométriques introduites par Baez et Dolan afin de donner une définition de n-catégorie. Les constructeurs sous lesquels notre univers est clos nous permettent de définir, en particulier, la construction tranche de Baez-Dolan sur laquelle repose notre définition de type opétopique. Les types opétopiques nous permettent de définir des structures algébriques supérieures cohérentes sur des types, parmi lesquelles les infini-groupoïdes et les (infini, 1)-catégories. De manière cruciale, leur structure supérieure coïncide avec celle induite par leurs types d'identités. Nous établissons enfin quelques résultats attendus afin de motiver nos définitions.
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Antoine Allioux. Higher Structures in Homotopy Type Theory. Computer Science [cs]. Université Paris Cité, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04335842⟩
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