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Theses Year : 2023

Two complementary approaches in multi-parameter persistence : interval-decompositions and constructible functions

Deux approches complémentaires de la persistance multiparamétrique : décompositions en intervalles et fonctions constructibles

Abstract

Multi-parameter persistence modules do not admit barcodes--unlike their widely used one-parameter analogues in topological data analysis—-, and more generally no complete and computationally manageable description. This thesis proposes to circumvent this obstacle through two approaches. The first consists of identifying subclasses of such modules that are indeed described by multi-sets of multi-parameter intervals. Keeping in mind the need to algorithmically test membership in these subclasses, we study the existence of those with a local characterization, i.e., those whose membership can be tested by observing only the restrictions of the persistence modules to finite subsets of the parameter space. We show that while the subclass of interval-decomposable modules does not admit such a local characterization, the class of rectangle-decomposable modules does, and it is, in some precise sense, a maximal class with this property. The second approach is to build informative and efficiently computable invariants of multi- parameter persistence modules in the form of constructible functions. This bypasses the modules construction altogether by using Euler characteristic computations instead of homological ones. We introduce and conduct a systematic study of integral transforms of constructible functions involving Lebesgue measure and integration with respect to the Euler characteristic. We study their regularity, their injectivity, their stability and their statistical properties. Finally, these tools are discussed as powerful descriptors in data analysis, providing examples of the topological and geometric information captured.
Les modules de persistance multiparamétriques n'admettent, contrairement à leurs analogues uniparamétriques largement utilisés en analyse de données, pas de codes-barres, et plus généralement, aucune description complète et facilement manipulable numériquement. Cette thèse propose de contourner cet obstacle par deux approches. La première consiste à identifier des sous-classes de tels modules qui sont effectivement décrites par des multi-ensembles d'intervalles à plusieurs paramètres. Gardant à l'esprit la nécessité de tester algorithmiquement l'appartenance à ces sous-classes, nous étudions l'existence de celles admettant une caractérisation locale, c'est-à-dire celles dont l'appartenance peut être testée en observant uniquement les restrictions des modules à des sous-ensembles finis de l'espace des paramètres. Nous montrons que si la sous-classe des modules décomposables en intervalles n'admet pas une telle caractérisation locale, la classe des modules décomposables en rectangles en admet une, et qu'elle est, dans un sens précis, une classe maximale ayant cette propriété. La deuxième approche consiste à construire des invariants riches et facilement calculables des modules de persistance à plusieurs paramètres sous forme de fonctions constructibles. Cette approche contourne complètement la construction des modules via des calculs de caractéristique d'Euler plutôt que d'homologie. Nous introduisons des transformées intégrales de fonctions constructibles combinant mesure de Lebesgue et intégration par rapport à la caractéristique d'Euler. On mène une étude systématique de ces transformées, prouvant des résultats de régularité, d'injectivité, de stabilité et statistiques. On prouve des formules d'indices permettant de calculer l'espérance de ces transformées dans le contexte de la persistance des sous-niveaux de champs gaussiens aléatoires. On montre enfin l'efficacité de ces outils en analyse de données, en fournissant de nombreux exemples de l'information topologique et géométrique qu'ils capturent.
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Dates and versions

tel-04235196 , version 1 (10-10-2023)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04235196 , version 1

Cite

Vadim Lebovici. Two complementary approaches in multi-parameter persistence : interval-decompositions and constructible functions. Representation Theory [math.RT]. Université Paris-Saclay, 2023. English. ⟨NNT : 2023UPASM018⟩. ⟨tel-04235196⟩
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