Mixing criteria for stationary processes. Estimation under mixing assumptions. Entropy of linear processes
Critères de mélange pour des processus stationnaires. Estimation sous des hypothèses de mélange. Entropie des processus linéaires
Résumé
There is three part in this thesis. In the first part we study the ergodic and mixing properties of some non linear or polynomial autoregressive random processes. We obtain sufficient conditions for geometric ergodicity and geometric absolute regularity of such processes. The results apply to the ARMA and bilinear processes. The technics used come from the Markov chain theory and the real algebraic and differential geometry. In the second part we study kernel estimators under strong mixing hypothesis ; we bound the p-mean risks and the uniform risk for the estimator of the density and some functionals ; we also propose estimators of the entropy and information of random variables and bound their risks. In the third part we study the entropy of linear processes ; we obtain an inequality between the entropy of a process and those of its linearly filtered ; an equality is obtained in some cases ; we close this part with applications particularly for the maximum entropy principle.
Cette thèse est constituée de trois parties. La première est consacrée aux propriétés d'ergodicité et de mélange de certains processus aléatoires autorégressifs non linéaires ou autorégressifs polynomiaux. On y établit des critères d'ergodicité géométrique et de régularité absolue géométrique. Les résultats s'appliquent aux processus ARMA et aux processus bilinéaires. Les techniques utilisées proviennent de la théorie des chaînes de Markov et de la géométrie algébrique et différentielle réelle. Dans la deuxième partie on étudie des estimateurs à noyau sous des hypothèses de mélange. On établit des majorations des risques moyens d'ordre p et du risque uniforme pour l'estimateur de la densité et d'autres fonctionnelles; on propose également un estimateur de l'entropie d'une variable aléatoire et on majore les risques de cet estimateur.
Dans la troisième partie on s'intéresse à l'entropie des processus linéaires; on établit une inégalité entre l'entropie d'un processus et celle de son filtré linéaire ; on obtient une égalité dans divers cas ; on termine cette partie en donnant des applications ; en particulier au principe du maximum d'entropie.
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