Path-wise study of singular diffusions
Étude trajectorielle de diffusions singulières
Résumé
The main object of this thesis is the study of singular diffusion processes with a focus on sticky diffusions.
Sticky diffusions were first introduced by Feller in the fifties as a case of boundary condition that can arise in the analytic description of a diffusion. Their paths spend positive amount of time at points of the state-space, giving them the appearance to 'stick' on these points. When such points are located at an attainable boundary of the state-space of the process, we call it sticky reflection.
The first contribution of this thesis is to provide a suitable approximation of the local time of a sticky Itô diffusion, with statistical applications in view. We define the notion of sticky Itô diffusion and prove their path-wise descriptions. We prove that the local time of the sticky Brownian motion can be approximated by a class of high-frequency path functionals. We use the path-wise characterization to extend the result to non-explosive Itô diffusions. We prove the consistency of a stickiness estimator based on the local time approximation. We give numerical results on the stickiness estimation of a sticky Brownian motion.
The second contribution of this thesis is an approximation in law of any one-dimensional diffusion by a grid-valued conditional moment-matching random walk. The convergence occurs as the maximal grid step goes to 0. We call this type of approximation 'Space-Time Markov Chain Approximation' or 'STMCA'. We also show how one can achieve optimal convergence rate by suitable choices of grids. We call 'grid tuning' the process of computing such a grid. One can use STMCAs to set up approximation schemes for any one-dimensional diffusion process. We give various illustrated approximations examples of diffusions even in the presence of sticky behavior, discontinuous or degenerate coefficients.
Le sujet principale de cette thèse est l'étude des processus de diffusions singuliers et en particulier des diffusions collantes.
Introduites par Feller dans les années 50, les diffusions collantes sont apparues comme un cas particulier de conditions de bord dans la description analytique des diffusions générales. Leurs trajectoires passent un temps positif sur des points de l'espace d'états leur donnant l'apparence d'y coller. Quand de tels points se trouvent sur des bords atteignables de l'espace d'états on parle de réflexion collante.
La première contribution est l'approximation du temps local des diffusions d'Itô collantes. Nous définissons ce type de processus et prouvons leur description trajectorielle. On prouve la convergence d'une classe de fonctionnelles haute-fréquence de la trajectoire du mouvement Brownien collant vers son temps local en $0$. On étend avec des arguments trajectoriels aux diffusions d'Itô collantes. On définit un estimateur de la 'stickiness' basé sur l'approximation du temps local, puis on prouve sa consistance. On donne des résultats numériques dans le cas du mouvement Brownien collant.
La deuxième contribution de cette thèse est l'approximation de tout processus de diffusion par des marches aléatoires à valeurs dans des grilles dont les moments correspondent avec ceux du vrai processus. On appelle ces processus d'approximation 'Space-Time Markov Chain Approximation' ou 'STMCA' car ce sont des chaînes de Markov en espace-temps. Une particularité de ce type d'approximation est qu'on on arrive à répliquer des dynamiques collantes de façon assez naturelle. On montre que avec un choix adapté de la grille on a une vitesse de convergence optimale en loi de cette approximation quand le pas de la grille tend vers 0. On appelle ce procédé 'grid tuning'. On donne des résultats numériques ou on illustre la convergence en loi des processus d'approximation et la flexibilité de l'algorithme sur le problème d'approximation du temps local.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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