Unstructured Isogeometric Analysis with Applications to Seismic Wave Propagation - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2021

Unstructured Isogeometric Analysis with Applications to Seismic Wave Propagation

Analyse Isogéométrique Non-Structurée avec Applications à la Propagation des Ondes Sismiques

Stefano Frambati
  • Function : Author

Abstract

In this work, we explore the usefulness of spaces of unstructured spline functions in the resolution of hyperbolic problems discretized by explicit-time schemes, and especially the acoustic wave propagation problem with absorbing boundary conditions, and its associated inverse problem known as seismic inversion.We base our analysis on the known definition of simplex splines through polyhedral projections and Dirichlet averages, and we focus especially on the construction of polynomial-reproducing spaces of simplex splines. We introduce spline spaces associated to fine zonotopal tilings, which constitute a combinatorial extension of previous results on Delaunay configurations, and allow to construct spline spaces on point configurations including repeated and affinely dependent points. The resulting reduction in the regularity of the function space allows to define external boundary conditions, as well as subdivide the spline space into subdomains. Furthermore, the combinatorial properties of zonotopal tilings allow us to derive some useful algorithms for spline space construction in all space dimensions, generalizing previously known algorithms, as well as the evaluation of all the spline functions supported at a given point.We employ these spaces to define an unstructured version of known multi-patch Discontinuous Galerkin (DG) – isogeometric analysis (IGA) numerical schemes, showing that we can recover the usual Bernstein-Bézier DG scheme, as well as a fully unstructured IGA method, as special cases. We also show that the behavior of these spline spaces near the external and internal boundaries is very similar to the behavior of the standard DG bases, thus allowing to derive simple inverse inequalities and reuse the standard results of coercivity and a priori error analysis originally derived for the interior-penalty discontinuous Galerkin (IPGD) method. We illustrate the numerical properties of this discretization scheme with some numerical experiments.Finally, we explore some possible applications of unstructured spline functions to the seismic inversion problem, in the form of the full waveform inversion (FWI) technique. Specifically, we use the location of the spline knots as degrees of freedom for the inversion, using some known facts about the derivatives of these functions to dive the optimization process. Since the cost function of FWI is not generally differentiable with respect to the geometric degrees of freedom, we introduce this technique using subdifferentials, and we give a derivation of the adjoint state method for the computation of the gradient using a known convex duality theorem, valid for non-differentiable convex functions.
Dans ce travail, on explore l’utilisation des espaces de fonctions splines non-structurées dans la résolution des problèmes hyperboliques discrétisés par des schémas en temps explicites, et en particulier le problème de la propagation des ondes acoustiques avec conditions aux limites absorbantes, et son problème inverse associé, l’inversion sismique.Notre analyse repose sur la définition, connue, de spline simplexe à travers les projections de polyèdres et les moyennes de Dirichlet, et on se concentre en particulier sur la construction d’espaces de splines simplexes capables de reproduire les polynômes. On introduit des espaces de splines associées aux pavages fins de zonotopes, ce qui constitue une extension combinatoire de certains résultats connus sur les configurations de Delaunay, et permet de construire des espaces de fonctions splines sur des configurations incluant des points répétés et affinement dépendants. La réduction de la régularité de l’espace de fonctions qui en découle permet de définir des conditions aux limites, ainsi que de subdiviser l’espace de splines en sous-domaines. De plus, les propriétés combinatoires des pavages de zonotopes nous permettent de dériver un certain nombre d’algorithmes utiles pour la construction de l’espace de splines dans n’importe quel nombre de dimensions, généralisant un algorithme connu en dimension deux d'espace, ainsi que pour l’évaluation de toutes les fonctions splines de l'espace en un point donné. On se sert des espaces précédemment construits afin de définir une version non-structurée des schémas multi-patch Galerkine discontinu (DG) – analyse isogéométrique (IGA) connus, puis on montre que le schéma usuel DG Bernstein-Bézier ainsi que la version complètement non-structurée du schéma IGA sont des cas particuliers de cette méthode. On montre aussi que le comportement de ces espaces de fonctions splines à proximité des bords externes et internes est très proche de celui des fonctions standards utilisées dans les schémas DG, ce qui nous permet de dériver des inégalités inverses simples et de réutiliser certains résultats connus concernant la coercivité et l’analyse d’erreur a priori qui avait été développés à l'origine pour la méthode de Galerkine discontinue avec pénalisation symétrique (IPDG). On illustre les propriétés numériques de notre schéma de discrétisation à travers un certain nombre d’expériences numériques.Pour terminer, on explore certaines applications possibles des fonctions splines non-structurées pour le problème d’inversion sismique, en utilisant la technique de l’inversion des formes d’ondes complètes (FWI). Plus précisément, on interprète la position des nœuds définissants les fonctions splines comme des degrés de liberté d’inversion, en utilisant certaines propriétés connues sur les dérivées de ces fonctions afin d’optimiser le processus. Comme la fonction de coût utilisée en FWI n’est pas en général différentiable par rapport aux degrés de liberté géométriques, on introduit cette technique en utilisant la notion de sous-différentiel, et on montre que la technique de l’état adjoint, utilisée pour le calcul du gradient de la fonction coût, peut être dérivée simplement d’un théorème connu de dualité convexe, qui est aussi valable pour les fonctions convexes non-différentiables.
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Dates and versions

tel-03521487 , version 1 (11-01-2022)

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  • HAL Id : tel-03521487 , version 1

Cite

Stefano Frambati. Unstructured Isogeometric Analysis with Applications to Seismic Wave Propagation. Numerical Analysis [math.NA]. Université de Pau et des Pays de l'Adour, 2021. English. ⟨NNT : 2021PAUU3031⟩. ⟨tel-03521487⟩

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