Symmetries and Fast Multipole Methods for Oscillatory Kernels
Symétries et méthodes multipolaires rapides pour noyaux oscillants
Résumé
We are interested in this manuscript in hierarchical methods for accelerating the resolution of linear systems derived from the boundary element method for problems appearing in electromagnetism. Particular emphasis is placed on the Fast Multipole Methods (FMMs). We detail a new abstract approach for the hierarchical methods, and particularly for different FMM formulations, presenting in what extent the symmetries of the tree structures of these methods can be exploited within different FMM formulations. We extend the explicit FMM formulation for the Helmholtz kernel in the high frequency regime to these symmetries, introducing the Lebedev's rules in this context. This modification leads to important difficulties when trying to obtain a multi-level FMM. To overcome this problem, we propose an approach for the explicit block-diagonalization of specific matrices as well as a strategy for the rapid evaluation of the products by these matrices. Finally, we describe the complete realization of a kernel-independent directional FMM library using interpolation on cartesian grids. Such interpolation allows the use of Fast Fourier Transforms in the processing of the interactions approximated by the FMM. The theoretical aspects are discussed (such as the consistency of the approximation method or the application of the symmetries in this FMM formulation) as well as aspects related to algorithmics and to high-performance computing on one CPU core. Results and comparisons with a state-of-the-art directional library illustrate the performance of our implementation.
Nous nous intéressons dans ce manuscrit aux méthodes hiérarchiques pour l'accélération des résolutions de systèmes linéaires issus de la méthode des éléments finis de frontière pour des problèmes hautement oscillants (tels qu'apparaissant en électromagnétisme). Une attention particulière est portée aux méthodes multipolaires rapides (MMR). Nous détaillons une nouvelle approche abstraite des méthodes hiérarchiques, en particulier des différentes formulations MMR, en présentant dans quelle mesure les symétries des structures arborescentes de ces méthodes peuvent être exploitées au sein des différentes MMR. Afin d'étendre le cadre de la formulation MMR explicite pour le noyau de Helmholtz en haute fréquence à ces symétries, nous introduisons les règles de Lebedev dans ce contexte. Cette modification conduit à d'importantes difficultés pour la mise en place d'une MMR multi-niveaux. Pour pallier ce problème, nous proposons une approche pour la diagonalisation par bloc de matrices particulières à ce contexte ainsi qu'une stratégie pour l'évaluation rapide des produits par ces matrices. Enfin, nous décrivons la réalisation complète d'une bibliothèque MMR directionnelle kernel-independent usant d'interpolation sur des grilles cartésiennes. Ce type d'interpolation autorise l'usage de transformées de Fourier rapides dans le traitement des interactions approchées par la MMR. Les aspects théoriques sont abordés ainsi que les aspects algorithmiques et ceux liés au calcul haute performance sur un cœur de calcul. Des résultats numériques et des comparaisons avec une bibliothèque MMR directionnelle de référence illustrent les performances de notre implémentation.
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