Analyse et Simulations Numériques du Retournement Temporel et de la Diffraction Multiple - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2011

Analysis and Numerical Simulations of Time Reversal and Multiple Scattering

Analyse et Simulations Numériques du Retournement Temporel et de la Diffraction Multiple

Abstract

This thesis contributes to the mathematical analysis and numerical simulation of some problems arising in multiple scattering. This document is divided into two parts. The first part deals with some inverse problems related to the detection and localization of targets using a Time Reversal Mirror (TRM). These devices are able to back-propagate a signal into a medium on the source that emitted it. We first study the DORT method, which is an empirical technique used to focus waves selectively on small unknown scatterers. In the context of acoustic scattering, a numerical investigation of the mathematical results obtained by C. Hazard and K. Ramdani is proposed. These results are then mathematically extended to the electromagnetic case. To conclude the first part, we study numerically the reconstruction of an acoustic point source with a TRM. Here, we are mainly interested in the super-resolution phenomena, that is, the enhancement of the quality of focusing in an heterogeneous medium instead of an homogeneous one. By using a deterministic model, we numerically solve the Helmholtz equation and give examples of numerical simulations that illustrate this phenomena. The second part is devoted to the numerical solution of acoustic multiple scattering problems using integral equations. Here, multiple scattering means that there are at least two scatterers in the medium unlike single scattering where only one obstacle is considered. For circular scatterers, the Fourier coefficients of the four classical boundary integral operators are computed analytically. This allows us to propose an efficient and robust numerical method to solve the multiple scattering problem with many disks. This strategy involves a sparse storage of the matrix of the linear system, which is then solved using the GMRES iterative solver combined with a preconditioner based on single scattering contributions. It appears that all the so-preconditioned integral equations are identical, up to an invertible operator. This result is first proved for circular scatterers and then extended to any arbitrarily shaped regular obstacle. Finally, deriving the Fourier coefficients of the single-layer boundary integral operator gives us the opportunity to study the spectrum of this operator in the low frequency regime. We consider first the single scattering case and then two multiple scattering regimes: a diluted medium where obstacles are far from each other and a dense medium where the scatterers are close.
Cette thèse porte sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes liés à la diffraction multiple. Elle est constituée de deux parties. La première partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT). Ces appareils sont capables de rétro-propager des ondes dans leur milieu d'origine afin de les focaliser sur la source qui les a initialement émises. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode DORT, qui est une technique expérimentale permettant de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles a priori inconnus. Dans le cadre de l'acoustique, nous proposons une étude numérique des résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani. Ensuite, nous étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Pour clôturer cette première partie, nous présentons une étude numérique d'une expérience de reconstruction d'une source acoustique ponctuelle à l'aide d'un MRT. On s'intéresse ici plus particulièrement au phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration, en moyenne, de la qualité de la focalisation en milieu hétérogène plutôt qu'en milieu homogène. En se plaçant dans un contexte déterministe, nous résolvons numériquement l'équation de Helmholtz et donnons des exemples de simulations numériques illustrant ce phénomène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique. La notion de diffraction multiple signifie ici que le milieu comporte plusieurs obstacles par opposition à la diffraction simple où seul un diffuseur est présent. Lorsque les obstacles sont des disques, nous calculons explicitement les coefficients des quatre opérateurs intégraux usuels dans les bases de Fourier. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace lorsque les obstacles sont des disques. Cette stratégie de résolution utilise une méthode de stockage compressée de la matrice du système linéaire ainsi qu'un préconditionneur qui prend en compte les effets de la diffraction simple. En outre, ce préconditionnement présente la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales identiques, à un changement de base près. Nous démontrons ce résultat tout d'abord pour des obstacles circulaires avant de l'étendre à des géométries régulières quelconques. D'autre part, l'obtention des coefficients de l'opérateur intégral de simple couche nous permet d'étudier numériquement le spectre de cet opérateur en régime basse fréquence. Après une étude de la diffraction simple, nous nous sommes intéressés à deux régimes particuliers de diffraction multiple : un milieu dilué où les obstacles sont éloignés et un milieu dense où les obstacles sont très proches les uns des autres.
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  • HAL Id : tel-01746214 , version 2

Cite

Bertrand Thierry. Analyse et Simulations Numériques du Retournement Temporel et de la Diffraction Multiple. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2011. Français. ⟨NNT : 2011NAN10071⟩. ⟨tel-01746214v2⟩
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