Adaptive estimation for inverse problems with applications to cell divisions
Estimation adaptative pour des problèmes inverses avec des applications à la division cellulaire
Abstract
This thesis is divided into two independent parts. In the first one, we consider a stochastic individual-based model in continuous time to describe a size-structured population for cell divisions. This model is motivated by the detection of cellular aging in biology. The random point measure describing the cell population evolves as a piecewise deterministic Markov process. We address here the problem of nonparametric estimation of the kernel ruling the divisions, under two observation schemes. First, we observe the evolution of cells up to a fixed time T and we obtain the whole division tree. We construct an adaptive kernel estimator of the division kernel with a fully data-driven bandwidth selection. We obtain an oracle inequality and optimal exponential rates of convergence. Second, when the whole division tree is not completely observed, we show that, in a large population limit, the renormalized microscopic process describing the evolution of cells converges to the weak solution of a partial differential equation (PDE). Considering an eigenvalue problem related to the asymptotic behavior of the PDE's solutions, we propose an estimator of the division kernel by using Fourier techniques. We prove the consistency of the estimator. The study of rates of convergence is a work in progress.
In the second part of this thesis, we consider the nonparametric regression with errors-in-variables model in the multidimensional setting. We estimate the multivariate regression function by an adaptive estimator based on projection kernels defined with multi-indexed wavelets and a deconvolution operator. The wavelet level resolution is selected by the method of Goldenshluger-Lepski. We obtain an oracle inequality and optimal rates of convergence over anisotropic Hölder classes.
Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle stochastique individu-centré en temps continu décrivant une population structurée par la taille. Ce modèle est motivé par la modélisation des divisions cellulaires et par la détection du vieillissement cellulaire en biologie. La population est représentée par une mesure ponctuelle évoluant suivant un processus aléatoire déterministe par morceaux. Nous étudions ici l'estimation non paramétrique du noyau régissant les divisions, sous deux schémas d'observation différents. Premièrement, nous observons l'évolution des cellules jusqu'au temps T et nous obtenons l'arbre entier des divisions. Nous construisons un estimateur à noyau avec une sélection adaptative de fenêtre dépendante des données. Nous obtenons une inégalité oracle et des vitesses de convergence exponentielles optimales. Deuxièmement, dans le cas où l'arbre de division n'est pas complètement observé, nous montrons que le processus microscopique renormalisé décrivant l'évolution de la population converge vers la solution faible d'une équation aux dérivés partielles (EDP). En considérant un problème de valeurs propres lié à l'étude du comportement asymptotique des solutions de cette EDP, nous proposons un estimateur du noyau de division en utilisant des techniques de Fourier. Nous montrons la consistance de l'estimateur. L'étude de la vitesse de convergence est un travail en cours.
Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons le modèle de régression non paramétrique avec erreurs sur les variables dans le contexte multidimensionnel. Notre objectif est d'estimer la fonction de régression multivariée inconnue. Nous proposons un estimateur adaptatif basé sur des noyaux de projection fondés sur une base d'ondelettes multi-index et sur un opérateur de déconvolution. Le niveau de résolution des ondelettes est obtenu par la méthode de Goldenshluger-Lepski. Nous obtenons une inégalité oracle et des vitesses de convergence optimales sur les espaces de Hölder anisotropes.
Loading...