Mosaïques, enveloppes convexes et modèle Booléen : quelques propriétés et rapprochements - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2009

Tessellations, convex hulls and Boolean model: some properties and connections

Mosaïques, enveloppes convexes et modèle Booléen : quelques propriétés et rapprochements

Pierre Calka

Abstract

This dissertation is devoted to three classical models of random geometry: tessellations, convex hulls and Boolean model. The first section deals with isotropic Poisson hyperplane tessellations. We study zero-cells which are random convex polytopes of the Euclidean space. Particular cases include the typical Poisson-Voronoi cell and the Crofton cell. We provide an explicit formula for the distribution of the number of sides in dimension two. We investigate its asymptotic behaviour and connection is made with Sylvester's problem for points in convex position. We then investigate distributional properties of the circumscribed radius and limit theorems are proved for describing the asymptotic behaviour of the zero-cell with large inradius. This (and also our use of fundamental frequency) allows us to specify in some cases the statement of D. G. Kendall's conjecture. In the second section, we are interested in convex hulls of isotropic Poisson point processes in the unit-ball. A large deviation type result is shown for the number of vertices. We then prove the convergence of the rescaled boundary of the polytope and we deduce from it extreme value results, variance estimates, central limit theorems and invariance principles for some characteristics. The third section is about Boolean type covering models of the Euclidean space. In a first work we model a multicracking process with a covering model without overlappings. Next we study the convergence of the connected component of the origin of a Boolean model to the Crofton cell in dimension two. Finally we investigate the visibility function of this connected component and we prove precise distributional estimates and extreme value results.
Ce mémoire est consacré à trois modèles classiques de géométrie aléatoire : les mosaïques, les enveloppes convexes et le modèle booléen. Dans la première partie, on étudie les mosaïques poissonniennes d'hyperplans isotropes et plus particulièrement leur zéro-cellule qui est un polyèdre convexe aléatoire de l'espace euclidien. Deux cas particuliers de zéro-cellules sont la cellule typique de Poisson-Voronoi et la cellule de Crofton. On donne une formule explicite pour la loi du nombre de côtés d'une zéro-cellule en dimension deux. On s'intéresse au comportement asymptotique de cette loi et on fait le lien avec le problème de Sylvester des points en position convexe. On décrit ensuite la loi du rayon circonscrit ainsi que le comportement asymptotique du polyèdre à grand rayon inscrit au moyen de théorèmes limites. De cette manière et aussi par l'utilisation de la fréquence fondamentale, on apporte des précisions à l'énoncé de la conjecture de D. G. Kendall. La seconde partie a pour objet les enveloppes convexes de processus ponctuels de Poisson isotropes dans la boule-unité. On établit un résultat de type grandes déviations pour le nombre de sommets. On montre ensuite la convergence de la frontière de l'enveloppe après changement d'échelle et on en déduit des résultats de valeurs extrêmes, estimations de variance, théorèmes centraux limites et principes d'invariance pour certaines caractéristiques. Dans la troisième partie, on s'intéresse enfin aux modèles de recouvrement de type booléen de l'espace euclidien. Dans un premier travail, on applique une variante du modèle sans interpénétration des objets à la modélisation d'un phénomène de fissuration. On étudie ensuite la convergence de la composante connexe de l'origine d'un modèle booléen vers la cellule de Crofton en dimension deux. On s'intéresse enfin à la fonction de visibilité de cette composante connexe pour laquelle on obtient une estimée de la queue de distribution et des résultats de valeurs extrêmes.
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Dates and versions

tel-00448249 , version 1 (18-01-2010)

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  • HAL Id : tel-00448249 , version 1

Cite

Pierre Calka. Mosaïques, enveloppes convexes et modèle Booléen : quelques propriétés et rapprochements. Mathématiques [math]. Université René Descartes - Paris V, 2009. ⟨tel-00448249⟩
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