Rapport Année : 2025

Primal and dual approaches for the chamber enumeration of real hyperplane arrangements - The full report

Approches primales et duales pour l'énumération des chambres d'un arrangement d'hyperplans réel - Le rapport complet

Résumé

The hyperplane arrangement problem appears in various theoretical and applied mathematical contexts. This paper focuses on the enumeration of the chambers of an arrangement, a task that most often requires algebraic or numerical computation. Among the recent numerical methods, Rada and Černý's recursive algorithm outperforms previous approches, by relying on a specific tree structure and on linear optimization. This paper presents modifications and improvements to this algorithm. It also introduces a dual approach solely grounded on matroid circuits and its associated concepts of stem vectors, thus reducing or avoiding the need to solve linear optimization problems. Along the way, theoretical properties of arrangements, such as their cardinality and conditions for their symmetry, completeness and connectivity, as well as properties of their various stem vector sets, are recalled or proved with an analytic viewpoint. It is shown, in particular, that the set of the chambers of an affine arrangement is located between those of two related linear arrangements. This leads to compact forms of the algorithms, which solve less subproblems. The proposed methods have been implemented in Julia and their efficiency is assessed on various instances of arrangements; for the best of them, this efficiency manifests itself by speedup ratios in the range [1.72,22.87] with an average value of 9.10. The developed code also lists the bounded chambers when the arrangement is in linear general position.

Les arrangements d'hyperplans apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques théoriques et appliquées. Cet article se concentre sur l'énumération des chambres d'un arrangement, une tâche qui requiert le plus souvent des calculs algébriques ou numériques. Parmi les méthodes numériques récentes, l'algorithme récursif de Rada et Černý surpasse les approches qui le précédaient, en se fondant sur une structure d'arbre spécifique et sur l'optimisation linéaire. Cet article présente des modifications et des améliorations de cet algorithme. Il introduit également une approche duale fondée uniquement sur les circuits de matroïde et les vecteurs-souches associés, réduisant ou évitant donc le besoin de résoudre des problèmes d'optimisation linéaire. En chemin, des propriétés théoriques des arrangements, tels que leur cardinalité et des conditions pour leur symétrie, complétude et connectivité, ainsi que des propriétés de divers ensembles de vecteurs-souches, sont rappelées ou démontrées avec un point de vue d'analyste. Nous montrons, en particulier, que l'ensemble des chambres d'un arrangement affine se situe entre ceux de deux arrangements linéaires associés. Ceci conduit à des formes compactes des algorithmes, qui résolvent moins de sous-problèmes. Les algorithmes proposés ont été implémentés en Julia et leur performance est évaluée sur des instances variées d'arrangements; pour le meilleur d'entre eux, cette efficacité se manifeste par des rapports d'accélération se situant dans l'intervalle [1.72,22.87], avec une valeur moyenne de 9.10. Le code développé liste aussi les chambres bornées lorsque l'arrangement est en position générale linéaire.

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Cite hal-05002249 Rapport Jean-Pierre Dussault, Jean Charles Gilbert, Baptiste Plaquevent-Jourdain. Primal and dual approaches for the chamber enumeration of real hyperplane arrangements. Inria - Paris; Université de Sherbrooke (Québec, Canada). 2025, pp.46. ⟨hal-05002249⟩

HAL

Cite hal-05238721 Rapport Jean-Pierre Dussault, Jean Charles Gilbert, Baptiste Plaquevent-Jourdain. IncSignFeas.jl (isf): Julia functions for the enumeration of the chambers of hyperplane arrangements. Inria Paris; Université de Sherbrooke (Québec, Canada). 2025. ⟨hal-05238721⟩

Dates et versions

hal-05002239 , version 1 (23-03-2025)
hal-05002239 , version 2 (17-10-2025)
hal-05002239 , version 3 (04-11-2025)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : hal-05002239 , version 3

Citer

Jean-Pierre Dussault, Jean Charles Gilbert, Baptiste Plaquevent-Jourdain. Primal and dual approaches for the chamber enumeration of real hyperplane arrangements - The full report. Inria - Paris; Université de Sherbrooke (Québec, Canada). 2025, pp.79. ⟨hal-05002239v3⟩
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