Dans le jeu du plus grand sous-graphe connexe, deux joueurs, Anaïs et Gilles, s'affrontent en colorant les sommets d'un graphe. À chaque tour, Anaïs colore un sommet non coloré en rouge puis Gilles colore un sommet non coloré en bleu. Lorsque tous les sommets sont colorés, le joueur dont la couleur induit la plus grande composante connexe gagne. Ce jeu a été défini dans [Bensmail et al, WG'21 et AlgoTel'21] où il a été montré entre autres que Gilles n'a jamais de stratégie gagnante (au mieux, il peut espérer une égalité). Nous étudions la version de ce jeu où on se donne aussi un entier $k\geq 1$. Dans ce cas, Anaïs gagne si elle crée une composante connexe rouge de taille au moins k et Gilles gagne sinon. Étant donné un graphe $G$, nous étudions $c_g(G)$, le plus grand entier qui garantit la victoire d'Anaïs. Outre le fait que cela donne une chance à Gilles de gagner, cette variante fait partie de la famille des jeux combinatoires Maker-Breaker, qui ont été très étudiés. De plus, cette variante offre des outils différents pour mieux comprendre la version Maker-Maker initiale. En particulier, nous étudions les graphes A-parfaits pour lesquels Anaïs peut gagner en créant une unique composante rouge, i.e., les graphes à n sommets tels que $c_g(G) = \lceil n/2 \rceil$. Nous montrons que le calcul de $c_g(G)$ est PSPACE-complet dans les graphes bipartis, scindés (split) ou planaires, et que et une stratégie correspondante peuvent être calculés en temps linéaire dans les graphes $P_4$-clairsemés (généralisant les cographes). Nous donnons ensuite des conditions suffisantes (liées aux degrés ou au nombre d'arêtes) pour qu'un graphe soit A-parfait. Un résultat surprenant est qu'il n'existe aucun graphe 3-régulier A-parfait avec plus de 132 sommets.