Mass concentration in rescaled first order integral functionals - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles Journal de l'École polytechnique — Mathématiques Year : 2024

Mass concentration in rescaled first order integral functionals

Concentration de masse dans des fonctionnelles intégrales d’ordre 1 rééchelonnées

Abstract

We consider first order local minimization problems of the form ∫f(u,∇u) under a mass constraint ∫u=m. We prove that the minimal energy function is always concave, and that relevant rescalings of the energy, depending on a small parameter ε, Γ-converge towards the H-mass, defined for atomic measures Σᵢmᵢδxᵢ as ΣᵢH(mᵢ). We also consider Lagrangians depending on ε, as well as space-inhomogeneous Lagrangians and H-masses. Our result holds under mild assumptions on f, and covers in particular α-masses in any dimension N≥2 for exponents α above a critical threshold, and all concave H-masses in dimension N=1. Our result yields in particular the concentration of Cahn-Hilliard fluids into droplets, and is related to the approximation of branched transport by elliptic energies.
Nous considérons des problèmes de minimisation locaux d’ordre de la forme ∫f(u,∇u) sous contrainte de masse ∫u=m. Nous prouvons que la fonction d’énergie minimale est toujours concave, et que des rééchelonnements appropriés de l’énergie, dépendant d’un petit paramètre ε, Γ-convergent vers la H-masse, définie pour les mesures atomiques Σᵢmᵢδxᵢ par ΣᵢH(mᵢ). Nous considérons également des lagrangiens dépendant de ε, et des lagrangiens et H-masses spatialement inhomogènes. Notre résultat est valable sous de faibles hypothèses sur f, et couvre les α-masses en toute dimension pour des exposants α au-dessus d’un seuil critique, et toutes les H-masses concaves en dimension. Notre résultat donne en particulier la concentration des fluides de Cahn-Hilliard en gouttelettes, et est lié à l’approximation du transport branché par des énergies elliptiques.
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hal-03517074 , version 1 (07-01-2022)
hal-03517074 , version 2 (02-03-2022)
hal-03517074 , version 3 (08-02-2024)
hal-03517074 , version 4 (22-02-2024)

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Cite

Antonin Monteil, Paul Pegon. Mass concentration in rescaled first order integral functionals. Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 2024, 11, pp.42. ⟨10.5802/jep.257⟩. ⟨hal-03517074v4⟩
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