Fractional multiplicative processes - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques Year : 2009

Fractional multiplicative processes

Abstract

Statistically self-similar measures on [0, 1] are limit of multiplicative cascades of random weights distributed on the b-adic subintervals of [0, 1]. These weights are i.i.d., positive, and of expectation 1/b. We extend these cascades naturally by allowing the random weights to take negative values. This yields martingales taking values in the space of continuous functions on [0, 1]. Specifically, we consider for each H∈(0, 1) the martingale (Bn)n≥1 obtained when the weights take the values −b−H and b−H, in order to get Bn converging almost surely uniformly to a statistically self-similar function B whose Hölder regularity and fractal properties are comparable with that of the fractional Brownian motion of exponent H. This indeed holds when H∈(1/2, 1). Also the construction introduces a new kind of law, one that it is stable under random weighted averaging and satisfies the same functional equation as the standard symmetric stable law of index 1/H. When H∈(0, 1/2], to the contrary, Bn diverges almost surely. However, a natural normalization factor an makes the normalized correlated random walk Bn/an converge in law, as n tends to ∞, to the restriction to [0, 1] of the standard Brownian motion. Limit theorems are also associated with the case H>1/2.
Les mesures sur [0, 1] auto-similaires en loi sont limites de processus multiplicatifs construits à partir de poids aléatoires distribués sur les sous-intervalles b-adiques de [0, 1]. Ces poids sont i.i.d., positifs et d'espérance 1/b. Il est naturel d'étendre la construction à des poids prenant des valeurs négatives. On obtient alors des martingales à valeurs dans les fonctions continues sur [0, 1]. Nous nous intéressons, pour H∈(0, 1), à la martingale (Bn)n≥1 de ce type construite en prenant des poids à valeurs dans {−b−H, b−H}, afin que Bn converge presque sûrement uniformément vers une fonction B auto-similaire en loi dont la régularité Höldérienne et les propriétés fractales soient comparables à celles du mouvement brownien fractionnaire d'exposant H. C'est bien le cas lorsque H∈(1/2, 1), et la construction fournit alors un nouvel exemple de loi invariante par moyenne pondérée aléatoire. Cette loi satisfait la même équation fonctionnelle qu'une loi stable symétrique usuelle d'indice 1/H. Si H∈(0, 1/2], Bn diverge presque sûrement, mais il existe une normalisation naturelle par une suite (an)n≥1 telle que la marche aléatoire corrélée normalisée Bn/an converge en loi vers la restriction à [0, 1] du mouvement brownien standard. Des théorèmes limites sont également associés au cas H>1/2.

Dates and versions

hal-00793123 , version 1 (21-02-2013)

Identifiers

Cite

Julien Barral, Benoît Mandelbrot. Fractional multiplicative processes. Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, 2009, 45 (4), pp.1116-1129. ⟨10.1214/08-AIHP198⟩. ⟨hal-00793123⟩

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