Hermite Reduction and Creative Telescoping for Hyperexponential Functions
Résumé
We present a reduction algorithm that simultaneously extends Hermite's reduction for rational functions and the Hermite-like reduction for hyperexponential functions. It yields a unique additive decomposition and allows to decide hyperexponential integrability. Based on this reduction algorithm, we design a new method to compute minimal telescopers for bivariate hyperexponential functions. One of its main features is that it can avoid the costly computation of certificates. Its implementation outperforms Maple's function DEtools[Zeilberger]. Moreover, we derive an order bound on minimal telescopers, which is more general and tighter than the known one.
Nous présentons un algorithme de réduction qui étend simultanément la réduction de Hermite pour les fractions rationnelles et la réduction de type Hermite pour les fonctions hyper-exponentielles. Cet algorithme fournit une décomposition additive unique et permet de tester l'intégrabilité des fonctions hyper-exponentielles. À partir de cet algorithme de réduction, nous concevons une nouvelle méthode pour calculer des télescopeurs minimaux pour les fonctions hyper-exponentielles de deux variables. Une de ses caractéristiques importantes est qu'elle peut éviter le calcul couteux des certificats. L'implantation de cette méthode est plus efficace en pratique que la fonction DEtools[Zeilberger] de Maple. Qui plus est, nous déduisons une borne sur l'ordre des télescopeurs minimaux, qui est à la fois plus générale et plus fine que la meilleure borne actuellement connue.