A Rocq Formalization of Monomial and Graded Orders
Une formalisation en Rocq des ordres monomiaux et gradués
Résumé
Even if binary relations and orders are a common formalization topic, we need to formalize specific orders (namely monomial and graded) in the process of formalizing in Rocq the finite element method. This article is therefore definitions, operators, and proofs of properties about relations and orders, thus providing a comprehensive Rocq library. We especially focus on monomial orders, that are total orders compatible with the monoid operation. More than its definition and proved properties, we define several of them, among them the lexicographic and grevlex orders. For the sake of genericity, we formalize the grading of an order, a high-level operator that transforms a binary relation into another one, and we prove that grading an order preserves many of its properties, such as the monomial order property. This leads us to the definition and properties of four different graded orders, with very factorized proofs. We therefore provide a comprehensive and user-friendly library in Rocq about orders, including monomial and graded orders, that contains more than 700 lemmas.
Même si les relations binaires et les ordres sont un sujet de formalisation courant, nous avons besoin de formaliser des ordres spécifiques (à savoir monomial et gradué) dans le processus de la formalisation en Rocq de la méthode des éléments finis. Cet article traite donc des définitions, des opérateurs et des preuves des propriétés des relations et des ordres, fournissant ainsi une bibliothèque Rocq complète. Nous nous concentrons tout particulièrement sur les ordres monomiaux, qui sont des ordres totaux compatibles avec l'opération de monoïde. Au-delà de la définition et des propriétés prouvées, nous en définissons plusieurs, dont les ordres lexicographique et grevlex. Par souci de généricité, nous formalisons la gradation d'un ordre, un opérateur de haut niveau qui transforme une relation binaire en une autre, et nous prouvons que la gradation d'un ordre conserve bon nombre de ses propriétés, telle que celle d'ordre monomial. Cela nous mène à la définition et aux propriétés de quatre ordres gradués différents, avec des preuves très factorisées. Nous mettons donc à disposition une bibliothèque Rocq sur les ordres complète et facile à utiliser, incluant les ordres monomiaux et gradués, qui contient plus de 700 lemmes.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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Est une version de hal-05396788 Preprint Sylvie Boldo, François Clément, Vincent Martin, Micaela Mayero. A Rocq Formalization of Monomial and Graded Orders. 2025. ⟨hal-05396788⟩