Supernodes ordering to enhance Block Low-Rank compression in sparse direct solvers
Résumé
Solving sparse linear systems appears in many scientific applications, and sparse direct linear solvers are widely used for their robustness. Still, both time and memory complexities limit the use of direct methods to solve larger problems, while the amount of memory available per computational units is decreasing in modern architectures. In order to tackle this problem, low-rank compression techniques have been introduced in direct solvers to compress large dense blocks appearing in the symbolic factorization. In this paper, we consider the Block Low-Rank (BLR) compression format and address the problem of clustering unknowns that come from separators issued from the nested dissection process. We show that methods considering only intra-separators connectivity (i.e., k-way or recursive bisection) as well as methods managing only interaction between separators have limitations. We propose a new strategy that considers interactions between multiple levels of the elimination tree of the nested dissection. This strategy tries to both reduce the number of off-diagonal blocks in the symbolic structure and increase the compression ratio of the large separators. We demonstrate how this new method enhances the BLR strategies in the sparse direct supernodal solver PaStiX.
La résolution de systèmes linéaires creux est utilisée dans de nombreuses applications scientifiques, et les solveurs directs creux sont réputés pour leur robustesse. Néanmoins, les complexités en temps et en mémoire limitent l'utilisation de ces méthode pour résoudre des problèmes de très grande taille. Afin de s'attaquer à ce problème, des techniques de compression de rang faible ont été introduites dans les solveurs directs pour compresser les blocs denses apparaissant lors de l'étape de factorisation symbolique. Dans cette étude, nous considérons le format de compression Bloc Low-Rank (BLR) et nous abordons le problème du regroupement 'clustering' des inconnues dans les séparateurs issus de la méthode de dissection emboitée. Nous mettons en évidence les limitations des méthodes ne prenant en compte que les connectivités internes à un séparateur (c.-à-d. k-way ou dissection récursive) ainsi que des méthodes qui n'optimisent que les interactions entre séparateurs. Nous proposons une nouvelle stratégie qui prend en compte les interactions entre plusieurs niveaux de l'arbre d'élimination de la dissection emboitée. Cette stratégie essaye de réduire à la fois le nombre de blocs extra-diagonaux dans la structure symbolique et d'augmenter le taux de compression des séparateurs les plus gros. Nous démontrons que cette nouvelle méthode permet d'améliorer la compression BLR dans le solveur supernodal direct creux PaStiX.
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