Torsion homology and regulators of isospectral manifolds - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles Journal of topology Year : 2016

Torsion homology and regulators of isospectral manifolds

Abstract

Given a finite group G, a G-covering of closed Riemannian manifolds, and a so-called G-relation, a construction of Sunada produces a pair of manifolds M_1 and M_2 that are strongly isospectral. Such manifolds have the same dimension and the same volume, and their rational homology groups are isomorphic. We investigate the relationship between their integral homology. The Cheeger-Mueller Theorem implies that a certain product of orders of torsion homology and of regulators for M_1 agrees with that for M_2. We exhibit a connection between the torsion in the integral homology of M_1 and M_2 on the one hand, and the G-module structure of integral homology of the covering manifold on the other, by interpreting the quotients Reg_i(M_1)/Reg_i(M_2) representation theoretically. Further, we prove that the p-primary torsion in the homology of M_1 is isomorphic to that of M_2 for all primes p not dividing #G. For p ≤ 71, we give examples of pairs of strongly isospectral arithmetic hyperbolic 3-manifolds for which the p-torsion homology differs.
Étant donné un groupe fini G, un G-revêtement de variétés riemanniennes fermées, et une « G-relation », une construction de Sunada produit deux variétés M_1, M_2 fortement isospectrales. De telles variétés ont la même dimension et le même volume, et leurs groupes d'homologie sur Q sont isomorphes. Dans cet article, nous nous intéressons à la relation entre leurs groupes d'homologie sur Z. Le théorème de Cheeger-Mueller implique qu'un certain produit d'ordres de torsion dans l'homologie et de régulateurs doit être identique pour M_1 et M_2. Nous exhibons un lien entre la torsion dans l'homologie de M_1 et M_2 d'une part, et la structure de G-module de l'homologie sur Z de la variété revêtant M_1 et M_2 d'autre part, en interprétant les quotients Reg_i(M_1)/Reg_i(M_2) en termes de théorie des représentations. De plus, nous prouvons que la torsion p-primaire dans l'homologie de M_1 est isomorphe à celle de M_2 pour tout p ne divisant pas #G. Pour tout nombre premier p ≤ 71, nous produisons un exemple de paire de 3-variétés arithmétiques hyperboliques fortement isospectrales pour lesquelles la p-torsion dans l'homologie diffère.

Dates and versions

hal-01671812 , version 1 (22-12-2017)

Identifiers

Cite

Alex Bartel, Aurel Page. Torsion homology and regulators of isospectral manifolds. Journal of topology, 2016, 9 (4), pp.1237 - 1256. ⟨10.1112/jtopol/jtw023⟩. ⟨hal-01671812⟩

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