About Hydrodynamic Limit of Some Exclusion Processes via Functional Integration
Résumé
This article considers some classes of models dealing with the dynamics of discrete curves subjected to stochastic deformations. It turns out that the problems of interest can be set in terms of interacting exclusion processes, the ultimate goal being to derive hydrodynamic limits after proper scalings. A seemingly new method is proposed, which relies on the analysis of specific partial differential operators, involving variational calculus and functional integration: indeed, the variables are the values of some functions at given points, the number of which tends to become infinite, which requires the construction of generalized measures. Starting from a detailed analysis of the ASEP system on the torus Z/NZ, we claim that the arguments a priori work in higher dimensions (ABC, multi-type exclusion processes, etc), leading to sytems of coupled partial differential equations of Burgers' type.
Cet article analyse une classe de modèles consacrés à la dynamique de courbes soumises à des déformations stochastiques. Il apparaît que les problèmes en jeu peuvent se formaliser en termes de processus d'exclusion en interaction, le but final étant d'obtenir des équations hydrodynamiques après des changements d'échelle adéquats. Une méthode apparemment nouvelle est proposée, qui s'appuie sur l'étude d'opérateurs aux dérivées partielles particuliers, faisant intervenir calcul variationnel et intégration fonctionnelle : de fait, les variables sont les valeurs prises par certaines fonctions sur un ensemble de points dont le nombre croît vers l'infini, ce qui demande la construction de mesures généralisées. Partant de l'étude assez fouillée du système ASEP sur le tore Z/NZ, nous affirmons qu'à priori les arguments utilisés fonctionnent en dimension spatiale quelconque (ABC, processus d'exclusion multiclasses, etc) et doivent conduire à des systèmes d'équations aux dérivées partielles couplées de type Burgers.
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