Intriguing Patterns in the Roots of the Derivatives of some Random Polynomials
Abstract
Our observations show that the sets of real (respectively complex) roots of the derivatives of some classical families of random polynomials admit a rich variety of patterns looking like discretized curves. To bring out the shapes of the suggested curves, we introduce an original use of fractional derivatives. Then we set several conjectures and outline a strategy to explain the presented phenomena. This strategy is based on asymptotic geometric properties of the corresponding complex critical points sets.
Nos observations montrent que les enembles de racines reelles (resp. complexes) des derivees de certaines familles de polynomes aleatoires ont une riche varietes motifs structures qui ressemblent a des courbes discretisees. Pour faire clairement apparaitre ces courbes, nous avons recours a une utilisation originale des derivees fractionnaires. Nous posons ensuite des conjectures et proposons une strategie pour expliquer les phenomenes observes. Celle-ci est basee sur des proprietes de symetrie asymptotique de l'ensemble des points critiques de nos polynomes quand leur degre tend vers l'infini.
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