Étude numérique de l'influence de la structure de dépendance des valeurs propres en synthèse modale probabiliste
Résumé
Ce travail à pour cadre la détermination de fonctions de réponse en fréquence (FRF) par synthèse modale. Cette méthode repose sur une discrétisation éléments finis de la structure puis sur la réduction des matrices de masse et de rigidité dans une base de vecteurs propres. La FRF entre deux degrés de liberté (DDL) du système est ensuite obtenue par une combinaison linéaire d’oscillateurs harmoniques. La modélisation probabiliste des paramètres d’entrée du modèle conduit à un problème aux valeurs propres aléatoires. Nous nous intéressons à la représentation de la structure de dépendance entre les valeurs propres et son influence sur la densité de probabilité de la FRF. Cette structure de dépendance est modélisée par une copule ([3]) identifiée à partir de simulations de Monte-Carlo. Les travaux développés dans [2] donnent les expressions analytiques des densités de probabilité de la FRF d’un oscillateur harmonique. Nous utilisons ces résultats afin d’exprimer la densité jointe d’un vecteur de n oscillateurs connaissant la loi jointe des n premières valeurs propres du système. Pour cela nous utilisons les résultats sur les transformations de copule en les adaptant au cas de transformations non monotones. Une comparaisons entre des simulations de Monte-Carlo et la densité jointe ainsi obtenue montre l'importance de modéliser la structure de dépendance. Ce vecteur aléatoire est ensuite utilisé afin de calculer la fonction caractéristique d’une FRF entre deux DDL. Enfin, la formule de Gil-Pelaez [1] donne numériquement accès à la fonction de répartition de la FRF. Cette approche permet d’étudier l’influence de la dépendance des valeurs propres sur les variations de la FRF. Références [1] R. B. Davies. Numerical inversion of a characteristic function. Biometrika, 60 :415–417, 1973. [2] C. Heinkelé. Synthèse modale probabiliste Théorie et applications. PhD thesis, Université Claude Bernard, Lyon, 2008. [3] R. Nelsen. An introduction to copulas. Springer, 2006.
Domaines
Mécanique [physics]
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